2015東北大 文系数学４

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=-4t^3+\left(a+3\right)t\ \ \ \left(0\leqq t\leqq 1\right)\end{align*}}$

　(１)
　　　f(t)の導関数に対して　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=-12t^2+a+3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt{\frac{a+3}{12}}\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0<\sqrt{\frac{a+3}{12}}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\leqq 9\end{align*}}$ のとき
　　　　　f(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　
　　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\left(\sqrt{\frac{a+3}{12}}\right)=-3\left(\sqrt{\frac{a+3}{12}}\right)^3+\left(a+3\right)\sqrt{\frac{a+3}{12}}=\left(\sqrt{\frac{a+3}{3}}\right)^3\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ 1<\sqrt{\frac{a+3}{12}}\ \ \Leftrightarrow\ \ 9< a\end{align*}}$ のとき
　　　　　区間0≦t≦1で常にf’(t)＞0なので、f(t)は単調に増加する。
　　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\left(1\right)=a-1\end{align*}}$

　　　(ⅰ)、(ⅱ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ M(a)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \left(\sqrt{\frac{a+3}{3}}\right)^3 & (\sf 0\lt a\leqq 9) \\ \sf a-1 & (\sf 9\lt a) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$


　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \left(\frac{x+3}{3}\right)^3 & (\sf 0\lt x\leqq 9) \\ \sf \left(x-1\right)^2 & (\sf 9\lt x0) \\\end{array} \right.\end{align*}}$

　　　(ⅰ) 0＜s≦9のとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(s)=\left(\frac{s+3}{3}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　より、点(s，g(s))における接線の方程式は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(\frac{s+3}{3}\right)^3=\left(\frac{s+3}{3}\right)^2\left(x-s\right)\end{align*}}$
　　　　　　であり、これが原点を通るとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(\frac{s+3}{3}\right)^3=\left(\frac{s+3}{3}\right)^2\left(0-s\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{s+3}{3}\right)^2\left(3-2s\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{3}{2}\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt s\leqq s\right)\end{align*}}$
　　　　　　このとき、接線の傾きは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g '\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{\frac{3}{2}+3}{3}\right)^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$


　　　(ⅱ) 9＜sのとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(s)=2\left(s-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　より、点(s，g(s))における接線の方程式は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(s-1\right)^2=2\left(s-1\right)\left(x-s\right)\end{align*}}$
　　　　　　であり、これが原点を通るとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(s-1\right)^2=2\left(s-1\right)\left(0-s\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s-1\right)^2\left(s+1\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　となるが、9＜sより、これを満たすことはない。

　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$　　接線の傾き＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{9}{4}}\end{align*}}$


　(３)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2=\left\{\frac{M(a)}{\sqrt{a}}\right\}^2=\frac{g\ (a)}{a}=\frac{g\ (a)-0}{a-0}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、k²は、曲線y＝g(x)上の
　　　点(a，g(a))と原点を結ぶ線分の傾きを表す。
　　　曲線y＝g(x)の概形は右図のようになるので、
　　　k²が最小になるのは、原点を通る直線が
　　　y＝g(x)に接するときである。
　　　よって、kの最小値は、(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2_{min}=\frac{9}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k_{min}=\frac{3}{2}\ }\ \ \left(>0\right)\end{align*}}$
　　　となる。




　　(３)で上手く(２)を活用できるでしょうか？