第１問
次の性質をもつ数列{an}を考える。
a1＝3
an+1＞an （n＝1，2，3，…)
an2－2anan+1＋an+12＝3(an＋an+1) （n＝1，2，3，…)
(１) n＝1，2，3，…に対し、an＋an+2をan+1を用いて表せ。
(２) bn＝an+1－an （n＝1，2，3，…）により定まる数列{bn}の一般項
を求めよ。
(３) 数列{an}の一般項を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n}^{\ 2}-2a_{n}a_{n+1}+a_{n+1}^{\ 2}=3\left(a_{n}+a_{n+1}\right)\end{align*}}$ ……(#)
(１)
(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}^{\ 2}-2a_{n+1}a_{n+2}+a_{n+2}^{\ 2}=3\left(a_{n+1}+a_{n+2}\right)\end{align*}}$
も成り立ち、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}^{\ 2}-a_{n}^{\ 2}-2a_{n+1}\left(a_{n+2}-a_n\right)=3\left(a_{n+2}-a_{n}\right)\end{align*}}$ ．
両辺を(an+2－an) （≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}+a_{n}-2a_{n+1}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_{n+2}+a_{n}=2a_{n+1}+3\ }\end{align*}}$
(２)
(#)にn＝1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}^{\ 2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{\ 2}=3\left(a_1+a_{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_2^{\ 2}-9a_2=0\ \ \ \left(\because\ a_1=3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=9\ \ \ \left(\because\ a_2>a_1=3\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=6\end{align*}}$ ．
また、(１)で得られた関係式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=b_{n}+3\end{align*}}$
と変形できるので、数列{bn}は、公差3の等差数列である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+3\left(n-1\right)=\underline{\ 3n+3\ }\end{align*}}$
(３)
(２)の{bn}は数列{an}の階差数列なので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(3k+3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3+\frac{3}{2}\left(n-1\right)n+3\left(n-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}n^2+\frac{3}{2}n\ }\end{align*}}$
（この式はn＝1のときも成り立つ）
上手く変形していきましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:17:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2015
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