第６問
k≧2とnを自然数とする。nがk個の連続する自然数の和であるとき、
すなわち、
$\small\sf{\begin{align*} \sf n=m+\left(m+1\right)+\ldots +\left(m+k-1\right)\end{align*}}$
が成り立つような自然数mが存在するとき、nをk-連続和と呼ぶこと
にする。ただし、自然数とは1以上の整数のことである。
(１) nがk-連続和であることは、次の条件(A)、(B)の両方が成り立つ
ことと同値であることを示せ。
(A) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ は整数である。
(B) 2n＞k2が成り立つ。
(２) fを自然数とする。n＝2fのとき、nがk-連続和となるような自然数
k≧2は存在しないことを示せ。
(３) fを自然数とし、pを2でない素数とする。n＝pfのとき、nがk-連続
和となるような自然数k≧2の個数を求めよ。
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【解答】
(１)
k≧2と自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=m+\left(m+1\right)+\ldots +\left(m+k-1\right)=\frac{k}{2}\left\{m+\left(m+k-1\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2n=2km+k^2-k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(#)
nがk-連続和であるとき
(#)を満たす自然数mが存在するので、条件(A)を満たす。
さらに、k≧2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2n-k^2+k}{2k}\geqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2n-k^2\geqq k>0\end{align*}}$
となるので、条件(B)も満たす。
逆に、(A)と(B)を満たすとき
(#)で表されるmは整数であり、(B)より この整数mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2n-k^2+k}{2k}>\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
を満たすので自然数である。よって、nはk-連続和である。
以上より、nがk-連続和であることと (A)、(B)がともに成り
立つことは同値である。
(２)
n＝2fのとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2^f}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\left(k+2m-1\right)=2^{f+1}\end{align*}}$
と変形できる。
kとk＋2m－1の偶奇は一致せず、k≧2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2^f\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+2m-1=1\end{align*}}$ ．
kを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^f+2m-1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ m=1-2^{f-1}\leqq 0\ \ \ \left(\because\ f\geqq 1\right)\end{align*}}$
となるので、これを満たすような自然数mは存在しない。
よって、n＝2fのとき、nがk-連続和となるような自然数
k≧2は存在しない。
(３)
n＝pfのとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{p^f}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\left(k+2m-1\right)=2p^{f}\end{align*}}$
と変形できるので、kは2pfの約数である。
また、pは2でない素数なので、pは3以上の奇数である。
(Ⅰ) fが偶数のとき
f＝2g （g：自然数）とおくと、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n=2p^{2g}>k^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq k<\sqrt2\ p^g\end{align*}}$
となるので、これを満たすような2pfの約数k（≧2）を
考える。
奇数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt\sqrt2\lt 3\leqq p\ \ \Leftrightarrow\ \ p^g\lt \sqrt2\ p^g\lt p^{g+1} \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=p,p^2,p^3,\ldots ,p^g\end{align*}}$
偶数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{p}\leqq\frac{2}{3}<\sqrt2<2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^{g-1}<\sqrt2\ p^g<2p^g\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2,2p,2p^2,\ldots ,2p^{g-1}\end{align*}}$
よって、題意を満たすkの個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g+g=2g=f\end{align*}}$ 個
(Ⅱ) fが奇数のとき
f＝2g－1 （g：自然数）とおくと、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2n=2p^{2g-1}>k^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\leqq k<\sqrt2\ p^{g-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
となるので、これを満たすような2pfの約数k（≧2）を
考える。
奇数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{-\frac{1}{2}}\leqq\frac{1}{\sqrt3}\lt \sqrt2\lt \sqrt3\leqq p^{\frac{1}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ p^{g-1}\lt\sqrt2\ p^{g-\frac{1}{2}}\lt p^{g} \end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=p,p^2,p^3,\ldots ,p^{g-1}\end{align*}}$
偶数のものは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p^{-\frac{1}{2}}\leqq\frac{2}{\sqrt3}<\sqrt2<2\sqrt3\leqq 2p^{\frac{1}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^{g-1}<\sqrt2\ p^g<2p^g\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2,2p,2p^2,\ldots ,2p^{g-1}\end{align*}}$
よって、題意を満たすkの個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(g-1\right)+g=2g-1=f\end{align*}}$ 個
(Ⅰ)、(Ⅱ)より、 題意を満たす自然数kはf個ある。
これは難しいでしょうね。どうにかして(２)ぐらいまでは解きたいものです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:16:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2015
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