第３問
サイコロを3回投げて出た目の数を順にp1、p2、p3とし、
xの2次方程式
2p1x2＋p2x＋2p3＝0 ……(*)
を考える。
(１) 方程式(*)が実数解をもつ確率を求めよ。
(２) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
かつ$\small\sf{\alpha\beta=1}$ が成り立つ確率を求めよ。
(３) 方程式(*)が実数でない2つの複素数解$\small\sf{\alpha,\beta}$ をもち、
かつ$\small\sf{\alpha\beta\lt 1}$ が成り立つ確率を求めよ。
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【解答】
サイコロを3回投げたときの目の出方の総数は、63通り。
(１)
(*)の判別式Dを考えると
p22－16p1p3≧0 ⇔ p22≧16p1p3≧16
より、p2≧4である必要がある。
・p2＝4のとき
p1p3＝1より、(p1，p3)＝(1，1)
・p2＝5のとき
p1p3＝1より、(p1，p3)＝(1，1)
・p2＝6のとき
p1p3＝1，2より、(p1，p3)＝(1，1)、(1，2)、(2，1)
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+1+3}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{216}\ }\end{align*}}$
(２)
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\alpha\beta=\frac{2p_3}{2p_1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ p_1=p_3\end{align*}}$
であり、これを満たすような3回の目の出方は、62通り。
このうちで、実数解をもつものは、(１)より
(p1，p2，p3)＝(1，4，1)、(1，5，1)、(1，6，1)
の3通り。よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6^2-3}{6^3}=\underline{\ \frac{11}{72}\ }\end{align*}}$
(３)
方程式(*)が実数解をもたないとき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ の値には
次の3つの場合が考えられる。
(ア) $\scriptsize\sf{\alpha\beta=1}$
(イ) $\scriptsize\sf{\alpha\beta\gt 1}$
(ウ) $\scriptsize\sf{\alpha\beta\lt 1}$
(イ)となるのはp1＜p3のとき、(ウ)となるのはp1＞p3のとき
なので、これらの確率は等しい。この確率をqとおくと、
(１)、(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p+\frac{11}{72}=1-\frac{5}{216}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{\ \frac{89}{216}\ }\end{align*}}$
これは易しいので間違えないように。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/27(土) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2015
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