第２問
pは0でない実数とし
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{1}{p}\ a_n-\left(-1\right)^{n+1}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定まる数列{an}がある。
(１) bn＝pnanとする。bn+1をbn、n、pで表せ。
(２) 一般項anを求めよ。
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【解答】
(１)
与えられた漸化式の両辺にpn+1（≠0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{n+1}a_{n+1}=p^na_n-\left(-p\right)^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_{n+1}=b_n-\left(-p\right)^{n+1}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、数列{bn}の階差が－(－p)n+1になるので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1-\sum_{k=1}^{n-1}\left(-p\right)^{k+1}\end{align*}}$ ……(#)
(ⅰ) 公比≠1 すなわち p≠－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=pa_1-\frac{p^2\left\{1-\left(-p\right)^{n-1}\right\}}{1-\left(-p\right)}=\frac{p+\left(-p \right)^{n+1}}{1+p}\end{align*}}$
(ⅱ) p＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=-a_1-\left(n-1 \right)=-n\end{align*}}$
これらの式はn＝1のときも成り立つ。
よって、
(ⅰ) p≠－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{b_n}{p^n}=\underline{\ \frac{1-\left(-p \right)^n}{\left(1+p \right)p^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(ⅱ) p＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{b_n}{\left(-1 \right)^n}=\underline{\ \frac{n}{\left(-1\right)^{n-1}}\ }\end{align*}}$
公比＝1となる場合を別で考える必要があります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/02(金) 01:16:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2015
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