第２問
p、qは正の実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=0\ \ ,\ \ a_{n+1}=pa_n+\left(-q\right)^{n+1}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
によって定める数列{an}がある。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{a_n}{p^n}\end{align*}}$ とする。数列{bn}の一般項をp、q、nで表せ。
(２) q＝1とする。すべての自然数nについてan+1≧anとなるような
pの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与えられた漸化式の両辺をpn+1（≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_n}{p^n}+\left(-\frac{q}{p}\right)^{n+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=b_n+\left(-\frac{q}{p}\right)^{n+1}\end{align*}}$
となり、数列{bn}の階差数列は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{q}{p}\right)^{n+1}\end{align*}}$ である。
よって、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{q}{p}\right)^{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_1}{p}+\left(-\frac{q}{p}\right)^{2}\cdot\frac{1-\left(-\frac{q}{p}\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac{q}{p}\right)}\ \ \ \ \left(\because\ -\frac{q}{p}\ne 1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{q^2\left\{p^{n-1}-\left(-q\right)^{n-1}\right\}}{p^n\left(p+q\right)}\ }\end{align*}}$
これは、n＝1のときも成り立つ。
(２)
(１)の結論とq＝1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=p^nb_n=\frac{p^{n-1}-\left(-1\right)^{n-1}}{p+1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}\geqq a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{p^{n}-\left(-1\right)^{n}}{p+1}\geqq\frac{p^{n-1}-\left(-1\right)^{n-1}}{p+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^{n}-\left(-1\right)^{n}\geqq p^{n-1}-\left(-1\right)^{n-1}\ \ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(-1\right)^{n}\leqq p^{n}-p^{n-1}\end{align*}}$ ……(#)
(#)の右辺をqnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}-q_n=\left(p^{n+1}-p^n\right)-\left(p^{n}-p^{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p^{n+1}-2p^n+p^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p^{n-1}\left(p-1\right)^2\geqq 0\ \ \ \left(\because\ p>0\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1\leqq q_2\leqq q_3\leqq q_4\leqq \ldots\end{align*}}$
が成り立つ。
また、(#)の左辺は、nが奇数のときは－2、偶数のときは2に
なるので、任意の自然数nに対して(#)が成り立つためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\leqq q_1=p-1\ \ \Leftrightarrow\ \ -3\leqq p\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq q_2=p^2-p\ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-p-2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ p\leqq -1\ ,\ 2\leqq p\end{align*}}$
であればよい。
よって、題意を満たすような正数pの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\leqq p\ }\end{align*}}$
である。
(２)は答案が書きにくいでしょうね。．
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/02(金) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2015
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
