第3問
1枚の硬貨を何回も投げ、表が2回続けて出たら終了する試行を行う。
ちょうどn回で終了する確率をPnとするとき、次の問いに答えよ。
(1) P2、P3、P4を求めよ。
(2) Pn+1をPnおよびPn-1を用いて表せ。ただし、n≧3とする。
(3) n≧2のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_{n}}{2}\leqq P_{n+1}\leqq P_n\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
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【解答】
(1)
・ちょうど2回で終了するのは、表が2回連続するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
・ちょうど3回で終了するのは、裏表表の順に出るときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
・ちょうど4回で終了するのは、2～4回目に裏表表の順に出る
ときなので（1回目はどちらでもよい）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4=1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
(2)
ちょうどn+1回で終了するのは、
・1回目が裏のときは、2～n+1回目のn回の試行でちょうど
終了すればよいので、この場合の確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ P_n\end{align*}}$
・1回目が表のときは、2回目に表が出る必要があり、その後、
3～n+1回目のn－1回の試行でちょうど終了すればよいので、
この場合の確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ P_{n-1}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_{n+1}=\frac{1}{2}\ P_n+\frac{1}{4}\ P_{n-1}\ }\end{align*}}$ ……(#)
(3)
n=2のとき、(1)より明らかに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_2}{2}=P_3\leqq P_2\end{align*}}$ ……①
が成り立つ。
n≧3のとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1}-\frac{1}{2}P_n=\frac{1}{4}P_{n-1}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}P_n\leqq P_{n+1}\end{align*}}$ ……②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}P_{n-1}\leqq P_{n}\end{align*}}$ ……③
も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n-P_{n+1}=P_n-\left(\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{4}P_{n-1}\right)\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}P_{n}-\frac{1}{4}P_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(P_{n}-\frac{1}{2}P_{n-1}\right)\geqq 0\ \Leftrightarrow\ \ P_{n+1}\leqq P_{n}\end{align*}}$ ←③より
以上より、n≧2である自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_{n}}{2}\leqq P_{n+1}\leqq P_n\end{align*}}$
が成り立つ。
(3)は、n=2の場合の処理が必要です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/02/28(土) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2015
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