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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2007京都府立医科大 数学4



第4問

  nを自然数とし、関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\sin^{n+1}x\end{align*}}$ の $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における
  変曲点のx座標をxnとする。

 (1) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)\end{align*}}$ を求めよ。
    ただし、必要ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\end{align*}}$ であることは用いてよい。

 (2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 点(xn,fn(xn))における曲線y=fn(x)の接線とx軸との交点を
    Pnとし、直線 $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ との交点をQnとする。3点Pn、Qnおよび
    R$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ を頂点とする三角形の面積をSnとするとき、極限値
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{ n}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/04(木) 03:04:00|
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