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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015京都薬科大 数学3



第3問

  漸化式an+2=dan+1-anと条件a1=0、a2=1で定まる数列
  {an}の一般項を、2次方程式と三角関数を用いて求める。
  ここで、dは実数とする。

 (1) 実数$\small\sf{\beta}$ をとり、an=$\small\sf{\beta}$ n-1とおくとき、{an}が漸化式をみたす
    のは、$\small\sf{\beta}$ が2次方程式 ア  =0の解となるときである。

 (2) (1)の2次方程式が相異なる2つの実数解をもつ条件は
    d> イ  またはd< ウ  である。このとき、相異なる2つ
    の実数解を$\small\sf{\beta}$ 1、$\small\sf{\beta}$ 2と表し、an=p$\small\sf{\beta}$ 1n-1+q$\small\sf{\beta}$ 2n-1
    (p、q:任意の実数)とおけば、{an}は漸化式を満たす。
    よって、a1、a2の条件を満たすようにp、qを定めれば、数列の
    一般項はdとnを用いてan= エ  と表される。

 (3) (1)の2次方程式が相異なる2つの虚数解をもつ条件は
     オ  <d< カ  である。三角関数の加法定理より
      cos(n+1)$\small\sf{\theta}$ +cos(n-1)$\small\sf{\theta}$ =2 キ  cos$\small\sf{\theta}$
      sin(n+1)$\small\sf{\theta}$ +sin(n-1)$\small\sf{\theta}$ =2 ク  cos$\small\sf{\theta}$
    が成り立つので、
      an=pcos(n-1)$\small\sf{\theta}$ +qsin(n-1)$\small\sf{\theta}$ (p、q:任意の実数)
    とおき、d= ケ  となるように$\small\sf{\theta}$ を選べば、{an}は漸化式を
    みたす。よって、a1、a2の条件を満たすようにp、qを定めれば、
    数列の一般項は$\small\sf{\theta}$ とnを用いてan= コ  のように表される。




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