ミ 1　　　　ム $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+2}{m^3}\end{align*}}$　　　　メ 3　　　　モ 1，2　　　　ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{36}\end{align*}}$　　　　

　　ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$　　　　ヨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$　　　　　ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{18}\end{align*}}$


【解説】

　[ミム]
　　　　f(x)の導関数は、　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-\frac{3}{m^2}=3\left(x- \frac{1}{m}\right)\left(x+ \frac{1}{m}\right)\end{align*}}$
　　　　となるので、増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　　よって、f(x)の極大値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\left( -\frac{1}{m}\right)=\frac{n+2}{m-3}\ }\end{align*}}$

　[メ]
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left( -\frac{k}{m}\right)=\frac{-k^3+3k+n}{m^3}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ k^3-3k>n\end{align*}}$
　　　　であり、n≦6なので、　
　　　　　　　　　　k³－3k＞6　　……(ⅰ)
　　　　を満たせばよい。　
　　　　　　　　k=1のとき、1－3＜6より不適
　　　　　　　　k=2のとき、8－6＜6より不適
　　　　　　　　k=3のとき、27－9＞6よりOK
　　　　よって、(ⅰ)を満たす最小の自然数kは、k=3である。

　[モ]
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{m}\lt x<-\frac{1}{m}\end{align*}}$　　……(ⅱ)
　　　　m=1のとき、－3＜x＜－1の範囲に整数解x=－2をもつ
　　　　m=2のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{2}\lt x<-\frac{1}{2}\end{align*}}$ の範囲に整数解x=－1をもつ
　　　　m≧3のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf －1\leqq -\frac{3}{m}\lt x<-\frac{1}{m}<0\end{align*}}$ の範囲には整数を含まない
　　　　よって、求めるmの値は、m=1，2である。


　[ヤ]
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+2}{m^3}\end{align*}}$ が整数になるのは
　　　　　　　　(m，n)=(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、
　　　　　　　　　　　　　(1，5)、(1，6)、(2，6)
　　　　の7通りあるので、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{7}{36}}\end{align*}}$

　[ユ]
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+2}{m^3}>0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-2}{m^3}<0\end{align*}}$ であればよい。
　　　　これは、n=1のときなので、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{6}}\end{align*}}$

　[ヨ]
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+2}{m^3}=0\end{align*}}$ または $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-2}{m^3}=0\end{align*}}$ であればよい。
　　　　これは、n=2のときなので、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{6}}\end{align*}}$

　[ラ]
　　　　方程式f(x)=0は(#)の範囲に必ず実数解（$\scriptsize\sf{\alpha}$ とする）
　　　　をもち、$\scriptsize\sf{\alpha}$ が整数になるのは、次の2つの場合がある。

　　　　・ m=1のときは、$\scriptsize\sf{\alpha}$ =－2なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-2)=-8+6+n=0\ \ \Leftrightarrow\ \ n=2\end{align*}}$
　　　　・ m=2のときは、$\scriptsize\sf{\alpha}$ =－1なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-1)=-1+\frac{3}{4}+\frac{n}{8}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ n=2\end{align*}}$

　　　　次に、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 以外の実数解をもつ場合を考える。

　　　　(Ⅰ) n=2のとき、f(x)=0は、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 以外に2重解 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{m}\end{align*}}$
　　　　　　　をもち、これが整数になるのはm=1のときのみ。

　　　　(Ⅱ) n=1のとき、f(x)=0は$\scriptsize\sf{\alpha}$ 以外に2つの実数解をもつ。
　　　　　　　これらを$\scriptsize\sf{\beta}$ 、γ （$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜γ）とすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=\frac{1}{m^3}>0\end{align*}}$ より
　　　　　　　0＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{m}\end{align*}}$ ＜$\scriptsize\sf{\gamma}$ となる。ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{m}\end{align*}}$ ≦1より、$\scriptsize\sf{\beta}$ は
　　　　　　　整数となり得ない。
　　　　　　　・m=1のとき
　　　　　　　　　　　f(1)=1－3+1＜0、　f(2)=8－6+1＞0
　　　　　　　　　より、1＜$\scriptsize\sf{\gamma}$ ＜2 となるので、$\scriptsize\sf{\gamma}$ も整数ではない。
　　　　　　　・m≧2のとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=1-\frac{3}{m^2}+\frac{1}{m^3}\geqq 1-\frac{3}{4}+\frac{1}{m^3}>0\end{align*}}$
　　　　　　　　　より、0＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{m}\end{align*}}$ ＜$\scriptsize\sf{\gamma}$ ＜1 となるので、$\scriptsize\sf{\gamma}$ も整数ではない。

　　　　以上より、題意を満たすのは、
　　　　　　　　　　(m，n)=(1，2)、(2，2)
　　　　のときなので、求める確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{18}\ }\end{align*}}$




　　最後がタイヘンですね＾＾；；
　　今年の立命館は、2月2日、2月3日どちらも、例年に比べて
　　かなり難しくなっていると思います。