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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015立命館大 理系(2月3日) 数学3



第3問

   -1<x<1で定義された関数ft(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f_t(x)=\frac{tx-1}{x-t}\end{align*}}$
   と定める。ただしt>1とする。
   ft(x)の値域は ヌ  <ft(x)< ネ  である。
   また、
         ft(ft(x))= ノ 
   であり、実数sでs≠t、s<1を満たすものについて
         g(x)=fs(ft(x))
   とおくと、
         図07図08
   とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1-R^n}{1+R^n}\right)\end{align*}}$ をRを用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1-R^n}{1+R^n}\right)\end{align*}}$ = ヘ 
   である。ただしnは自然数とする。

   数列{an}を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1-R}{1+R}\ \ , \ \ a_{n+1}=g\left(a_n \right)\ \ \ \left(n\geqq 1 \right)\end{align*}}$
   と定めると、s<tのとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ = ホ 
   であり、s>tのとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$ = マ 
   である。


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