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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  座標空間において原点をOとし、3点
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(1\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ B\left(0\ ,\ 0\ ,\ 1 \right)\ \ ,\ \ C\left(1\ ,\ 0\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
   を考える。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}+s\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ を位置ベクトルにもつ点をPとし、
   $\small\sf{\begin{align*} \sf t\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ を位置ベクトルにもつ点をQとする。s、tが実数全体を
   動くとき、点P、Qはそれぞれ直線BC、直線OA上を動く。

 (1) 2点P、Q間の距離はs、tを用いて表すと ス  である。
    s1を実数とし、s=s1のときの点PをP1とすると、点Qが
    点P1に最も近づくのは t= セ  s1+ ソ  のときで
    ある。このときの点QをQ1、tをt1とする。
   さらに、点Pが点Q1に最も近づくのは s= タ 1+ チ 
    のときである。

 (2) さらに、m≧2のとき、sm、tm
        sm= タ  tm-1+ チ 
        tm= セ  sm+ ソ 
    と定める。数列{sm}の一般項はs1を用いて表すと、
        sm= ツ 
   であり、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ s_m\end{align*}}$ = テ  、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ t_m\end{align*}}$ = ト 
    となる。

 (3) s= テ  、t= ト  のときの点P、QをそれぞれP
    Qとする。このとき、任意のs、tについて
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_{\infty}Q_{\infty}}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = ナ 
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_{\infty}Q_{\infty}}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ = ニ 
    が成り立つ。



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