ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$　　　　イ 0　　　　ウ －2　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{\frac{3}{2}}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$　　　　

　　カ 1　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{-\log a}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-\log a \right)a\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2e^{-\frac{3}{2}}\end{align*}}$

　　コ 4　　　　サ 1　　　　シ 2　　　　


【解説】

　　　　任意のxに対して f(－x)=f(x) が成り立つので
　　　　f(x)は偶関数である。

　(1)
　　　a=0 のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{-x^2}\ \ ,\ \ f\ '(x)=-2x\ e^{-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-2e^{-x^2}-2x\ e^{-x^2}\cdot\left( -2x\right)=2\left( 2x^2-1\right)e^{-x^2}\end{align*}}$
　　　より、f”(x)=となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のときであり、
　　　この前後でf”(x)の符号が変化するので、
　　　f(x)は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\pm\frac{1}{\sqrt2}}\end{align*}}$ で変曲点をもつ。


　(2)
　　　a=0のときのf”(x)をg(x)とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=2\left( 2x^2-1\right)e^{-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=8x\ e^{-x^2}+2\left(2x^2-1 \right)e^{-x^2}\cdot\left(-2x \right)=4x\left(3-2x^2 \right)e^{-x^2}\end{align*}}$
　　　となる。このことと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}2\left(2x^2-1 \right)e^{-x^2}=0\end{align*}}$
　　　より、g(x)の0≦xにおける増減は次のようになる。

　　　　　　
　　　
　　　g(x)も偶関数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)_{min}=\underline{\ g (0)=-2\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g (x)_{max}=\underline{\ g\left(\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=4e^{-\frac{3}{2}}\ }\end{align*}}$
　　　となる。


　(3)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=2ax-2x\ e^{-x^2}=2x\left(a-e^{-x^2} \right)\end{align*}}$
　　　x=0以外でf’(x)=0となるのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-x^2}=a\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=-\log a\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{-\log a}\end{align*}}$
　　　のときであり、このような異なる2つのxが存在するのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=e^{-x^2}>0\end{align*}}$　かつ　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -log a=x^2> 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a< 1\ }\end{align*}}$
　　　であればよい。
　　　　このときf(x)の0≦xにおける増減は、次のようになる。

　　　　　　　

　　　　f(x)は偶関数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)_{min}=\underline{\ f\left(\pm\sqrt{-\log a} \right)=\left(1-\log a \right)a\ }\end{align*}}$


　(4)　　　
　　　　(2)の増減表より、y=g(x)のグラフは次のようになる。

　　　　　　　
　　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=2a+2\left(2x^2-1 \right)e^{-x^2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ g\ (x)=-2a\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<-2a<4e^{-\frac{3}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -2e^{-\frac{3}{2}}\lt a<0\ }\end{align*}}$
　　　　のとき、曲線y=g(x)と直線x=－2aは異なる4つの共有点を
　　　　もつ。このとき、方程式f”(x)=0は4つの異なる実数解をもち、
　　　　それぞれの値の前後でf”(x)の符号が入れかわるので、
　　　　f(x)は4つの変曲点をもつ。

　　　　一方、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2<-2a\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 0\leqq a<1\ }\end{align*}}$
　　　　のとき、方程式f”(x)=0は2つの異なる実数解をもち、
　　　　それぞれの値の前後でf”(x)の符号が入れかわるので、
　　　　f(x)は2つの変曲点をもつ。




　　(4)あたりは、難しいのかもしれませんね。