ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{9}\end{align*}}$　　　　ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{81}\end{align*}}$　　　　フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{128}{729}\end{align*}}$　　　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{896}{6561}\end{align*}}$　　　　ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3344}{6561}\end{align*}}$　　　　

　　マ 0　　　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\left(50-k \right)}{51+k}\end{align*}}$　　　　ム 34


【解説】

　　　　　以下、右へ1移動することを→、左へ1移動することを←の
　　　　　記号で表すことにする。

　　ハ
　　　　3回のうち、→2回と←1回　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3!}{2!}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{4}{9}\ }\end{align*}}$

　　ヒ
　　　　1～3回目はハと同じ。4～6回目に ←2回と→1回
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{9}\cdot\frac{3!}{2!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{8}{81}\ }\end{align*}}$

　　フ
　　　　5、6回目はどちらも→。1～4回目に、→3回と←1回
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(6)=\frac{4!}{3!}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2=\underline{\ \frac{128}{729}\ }\end{align*}}$

　　ヘ
　　　　7、8回目はどちらも→
　　　　1～6回目に、→4回と←2回 （ただし、→→→→←←はダメ）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(8)=\left(\frac{6!}{4!\ 2!}-1\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2=\underline{\ \frac{896}{6561}\ }\end{align*}}$

　　ホ
　　　　点Aの座標が初めて4になるのは、4回目、6回目、8回目、・・・
　　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(4)=\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81}\end{align*}}$ ．
　　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(4)+P(6)+P(8)=\frac{16}{81}+\frac{128}{729}+\frac{896}{6561}=\underline{\ \frac{3344}{6561}\ }\end{align*}}$

　　マ
　　　　偶数回の試行で、Aの座標が奇数になることはないので、
　　　　　　　　　　Q(2k+1)=0

　　ミ
　　　　100回のうち→がx回、←が100－x回だとすると、
　　　　Aの座標が2kになるとき
　　　　　　　　x－(100－x)=2k　 ⇔　x=50+k．
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k \right)=\frac{100!}{\left(50+k \right)!\ \left(50-k \right)!}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{50+k}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{50-k}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k+2 \right)=\frac{100!}{\left(51+k \right)!\ \left(49-k \right)!}\cdot\left( \frac{2}{3}\right)^{51+k}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{49-k}\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Q\left(2k+2 \right)}{Q\left(2k \right)}=\frac{\left(50+k \right)!\ \left(50-k \right)!}{\left(51+k \right)!\ \left(49-k \right)!}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left( \frac{1}{3}\right)^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\left(50-k \right)}{51+k}\ }\end{align*}}$

　　ム
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k \right)\lt Q\left(2k+2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{Q\left(2k+2 \right)}{Q\left(2k \right)}=\frac{2\left(50-k \right)}{51+k}>1\ \ \Leftrightarrow\ \ k<\frac{49}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(2k \right)>Q\left(2k+2 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ k>\frac{49}{3}\end{align*}}$
　　　　より、　　　　　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q(-100)\lt Q(-98)<\ldots \lt Q(32)\lt Q(34)>Q(36)>\ldots >Q(100)\end{align*}}$
　　　　となるので、m=34のときQ(m)は最大となる。



　　雑な解説でスミマセンm(_ _)m