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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2015立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  y=f(x)をy=sinx (0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )の逆関数とする。

 (1) f(x)の定義域は サ  ≦x< シ  であり、f’(x)= ス 
    である。部分積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int f(x)\ dx=x\ f(x)-\int x\ f\ '(x)\ dx=x\ f(x)+\end{align*}}$  セ  +C
    を得る。ただし、Cは積分定数とする。

 (2)  サ  ≦x< シ  を満たすxについての関数g(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_0^x f\ (x)\ dx\end{align*}}$
    と定める。このとき、
        g(x)=xf(x)+ セ 
   であり、とくに $\small\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ = タ  である。また、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$  ソ  dx= チ 
    である。以上の結果と部分積分法を用いると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}g(x)\ dx\end{align*}}$ = ツ 
    である。
    ( ス  セ  ソ  はxを用いて答えよ。)



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