ア 2a　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-a^2}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\end{align*}}$　

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+3a^2}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\frac{1}{\sqrt{5}}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{5}\end{align*}}$

　　ケ 0、±1　　　　コ 1　　　　


【解説】

　　　点と直線の距離の公式より　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{\left| 2a\cos t+\sqrt{1-a^2}\ \sin t\right|}{\sqrt{a^2+\left(\sqrt{1-a^2} \right)^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left| 2a\cos t+\sqrt{1-a^2}\ \sin t\right|\ }\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left( 2a\right)^2+\left(\sqrt{1-a^2} \right)^2}=\sqrt{1+3a^2}\end{align*}}$
　　　なので、hは加法定理を用いて
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\sqrt{1+3a^2}\left| \frac{2a}{\sqrt{1+3a^2}}\cos t+\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\sin t\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+3a^2}\left| \sin A\cos t+\cos A\sin t\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+3a^2}\left| \sin \left(t+A \right)\right|\end{align*}}$　　……(#)
　　　と変形できる。ただし、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin A=\frac{2a}{\sqrt{1+3a^2}}\ \ ,\ \ \cos A=\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\end{align*}}$
　　　とする。
　　　hが最大になるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin \left(t+A \right)=\pm 1\ \ \Leftrightarrow\ \ t+A=\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi\end{align*}}$　　（n：整数）
　　　のときなので、このときのPのx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\left(-A\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)=\pm2\sin A=\underline{\ \pm\frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}\ }\end{align*}}$
　　　Pのy座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(-A\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi \right)=\pm\cos A=\underline{\ \pm\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\ }\end{align*}}$
　　　hの最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_{max}=\underline{\ \sqrt{1+3a^2}\ }\end{align*}}$
　　　である。


　　　また、∠PHO=90°なので
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta_0=\frac{PH}{OH}=\frac{\sqrt{1+3a^2}}{\sqrt{\left( \pm\frac{4a}{\sqrt{1+3a^2}}\right)^2+\left( \pm\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{1+3a^2}}\right)^2}}=\underline{\ \frac{1+3a^2}{\sqrt{1+15a^2}}\ }\end{align*}}$

　　　これをf(a)とおくと、導関数は、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=\frac{6a\sqrt{1+15a^2}-\left(1+3a^2 \right)\cdot\frac{30a}{2\sqrt{1+15a^2}}}{\left(\sqrt{1+15a^2}\right)^2}=\frac{9a\left(5a^2-1 \right)}{\left( \sqrt{1+15a^2}\right)^3}\end{align*}}$
　　　となり、f(a)の増減は次のようになる。

　　　　

　　　よって、f(a)は
　　　　　　　　a=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt5}\ }\end{align*}}$ のとき最小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{4}{5}\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　a=0，±1 のとき最大 1



　　一問目からグチャっとしてますねぇ・・・