① 8　　　　② 2n－1　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\pi\end{align*}}$　　　　④ －2　　　　


【解説】

　(1)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4^x+4^{-x-1}=\left(2^x\right)^2+\left(2^{-x-1}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2^x+2^{-x-1}\right)^2-2\cdot2^x\cdot 2^{-x-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3^2-2\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 8\ }\end{align*}}$

　(2)
　　　　　　　a₁=1
　　　　　　　a₂=1+(－1)¹=0
　　　　　　　a₃=2+(－1)⁰=3
　　　　　　　a₄=3+(－1)³=2
　　　　　　　a₅=4+(－1)²=5
　　　　　　　a₆=5+(－1)⁵=4
　　　　　　　a₇=6+(－1)⁴=7
　　　　　　　a₈=7+(－1)⁷=6
　　　　　　　a₉=8+(－1)⁶=9
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　より、b₁=1、 b₂=3、 b₃=5、 b₄=7、 b₅=9、……
　　　となるので、b_n=2n－1と類推できる。
　　　穴埋めなので、数学的帰納法による証明は省略（笑）


　(3)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta+\frac{3}{2}>0\end{align*}}$ なので、与式をP($\scriptsize\sf{\theta}$ )とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(\theta)=4\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta+\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(\sin\theta+\frac{3}{2}\right)-6+\frac{1}{\sin\theta+\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{4\left(\sin\theta+\frac{3}{2}\right)\cdot\frac{1}{\sin\theta+\frac{3}{2}}}-6\end{align*}}$　　←相加・相乗平均
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{4}-6\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\end{align*}}$
　　　等号成立は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\left(\sin\theta+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{\sin\theta+\frac{3}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{3}{2}\pi\ \ \left(\because\ 0\leqq \theta <2\pi\right)\end{align*}}$
　　　のときなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(\theta)_{min}=P\left(\frac{3}{2}\pi\right)=\underline{\ -2\ }\end{align*}}$




　　(2)は、ちゃんと解いてません（笑）