① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r^2\ z}{x^2+y^2+z^2}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{r^2}{a}\right)\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \sqrt{r^2-a^2}\ ,\ a\right)\end{align*}}$　　　　④ 0

　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r^2}{b}\end{align*}}$　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{r^2}{2b}\right)\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r^2}{2b}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　　①
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}//\overrightarrow{\sf OQ}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}>0\end{align*}}$
　　　　より、3点O、P、Qは一直線上にあり、Oに関してPとQは同じ側にある。　
　　　　よって、実数k（＞0）を用いて $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\ \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と表すことができるので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\left|\overrightarrow{\sf OQ}\right|=k\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2=k\left(x^2+y^2+z^2\right)=r^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{r^2}{x^2+y^2+z^2}\end{align*}}$ ．
　　　　よって、点Qのz座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{r^2\ z}{x^2+y^2+z^2}\ }\end{align*}}$ である。

　　②
　　　　P(0，0，a)のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\ \overrightarrow{\sf OP}=\left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{r^2\ a}{0+0+a^2}\right)=\underline{\ \left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{r^2}{a}\right)\ }\end{align*}}$

　　③
　　　　題意より R(0，Y，a) （Y＞0）と表すことができ、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OR}\right|=\sqrt{0+Y^2+a^2}=r\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=\sqrt{r^2-a^2}\ (>0)\end{align*}}$
　　　となるので、Rの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(0\ ,\ \sqrt{r^2-a^2}\ ,\ a\right)\ }\end{align*}}$

　　④
　　　　③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\left(0\ ,\ \sqrt{r^2-a^2}\ ,\ a\right)\ ,\ \overrightarrow{\sf QR}=\left(0\ ,\ \sqrt{r^2-a^2}\ ,\ a-\frac{r^2}{a}\right)\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\cdot\overrightarrow{\sf QR}=0+\left(r^2-a^2\right)+a\left(a-\frac{r^2}{a}\right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$

　　⑤⑥⑦
　　　　①と同様に考えると、Pのz座標bは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{r^2\ Z}{X^2+Y^2+Z^2}\end{align*}}$　　･･････(*)
　　　　と表すことができ、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2+Z^2=\underline{\ \frac{r^2}{b}\ Z\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2+\left(Z-\frac{r^2}{2b}\right)^2=\left(\frac{r^2}{2b}\right)^2\end{align*}}$
　　　　と変形できるので、Qは、
　　　　　　　　　　　中心$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{r^2}{2b}\right)\ }\end{align*}}$ 、半径$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{r^2}{2b}\ }\end{align*}}$
　　　　の球面上にある。





　　⑤で(*)の式を一気に作れると楽ですね。