第3問
x＞0に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x}\end{align*}}$
とおく。次の問いに答えよ。
(1) f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。
(2) 曲線y=f(x)の概形を解答欄の座標平面上にかけ。ただし、
曲線の凹凸については調べなくてもよい。必要ならば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ f\ (x)=0\end{align*}}$ であることを用いてよい。
(3) e$\small\sf{\pi}$ と$\small\sf{\pi}$ ｅの大小を判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解説】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot \log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)の極大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (e)=\underline{\ \frac{1}{e}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)の増減表より、y=f(x)のグラフの概形は下図のようになる。
(3)
(1)の増減表より、e＜xの範囲でf(x)は単調に減少するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e<\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ (e)>f\ (\pi)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log e}{e}>\frac{\log \pi}{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \pi\log e>e\log \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log e^{\pi}>\log \pi^e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ e^{\pi}>\pi^e\ }\end{align*}}$ ←底e＞1より
(3)は、f(x)を上手く使いましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/29(木) 02:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2015（全学部）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
