2015関西大 理系（全学部） 数学１

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【解答】

　
　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left(1-2\sin x\right)\sin x\end{align*}}$

　(2)
　　　　(1)よりf(x)の増減は次のようになる。　　　

　　　　　　　

　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_{-\frac{\pi}{4}}^x\left(\sin t-2\sin^2 t\right)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-\frac{\pi}{4}}^x\left(\sin t+\cos 2t-1\right)dt\end{align*}}$　　←半角公式
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-cos t+\frac{1}{2}\sin 2t-t\right]_{-\frac{\pi}{4}}^x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x-x+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　極大値
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\underline{\ -\frac{5}{12}\pi-\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
　　　　　　極小値
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(0\right)=\underline{\ -\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$

　(3)
　　　第2次導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-2\cos x\sin x+\left(1-2\sin x\right)\cos x=\left(1-4\sin x\right)\cos x\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{4}\lt x<\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x=\frac{1}{4}\end{align*}}$ となるxがただ1つ存在し、
　　　その値（$\scriptsize\sf{\alpha}$ とする）の前後でf”(x)の符号が変化するので、
　　　点($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，f($\scriptsize\sf{\alpha}$ ))が変曲点となる。
　　　よって、変曲点における接線の傾きは、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(\alpha)=\left(1-2\sin\alpha\right)\sin\alpha\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-2\cdot\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$




　　基本的な問題です。