ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-t \right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}+\frac{1-t}{t}\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{9}{4}\end{align*}}$

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf tx^2+\left(1-2t \right)x+\frac{13}{4}t-1\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　

　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{7}{2}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{7}{\sqrt{58}}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}=\underline{\ \overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}\ }\end{align*}}$
　　　PはACをt：(1－t)に内分する点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ \left(1-t \right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
　　　また、△OAP∽△QCPより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA:QC=t:(1-t)\end{align*}}$　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ QC=\frac{1-t}{t}\ OA=\frac{1-t}{t}\end{align*}}$　　……(#)
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf CQ}=\underline{\ \overrightarrow{\sf c}+\frac{1-t}{t}\overrightarrow{\sf a}\ }\end{align*}}$

　　　2つ目の条件より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAC=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2|\overrightarrow{\sf c}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c} \right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf c}|^2-x^2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf c}|^2=\underline{\ x^2+\frac{9}{4}\ }\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\left( \overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}\right)\cdot\left\{(1-t)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c} \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-t \right)\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}+t|\overrightarrow{\sf c}|^2-\left(1-t \right)|\overrightarrow{\sf a}|^2-t\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-t \right)x+t\left(x^2+\frac{9}{4} \right)-\left(1-t \right)-tx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ tx^2+\left(1-2t \right)x+\frac{13}{4}t-1\ }\end{align*}}$　　……オ

　　　QがBに一致するとき、(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CQ=\frac{1-t}{t}=3\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
　　　QがCBを4：1に外分するとき、(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CQ=\frac{1-t}{t}=4\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{\ \frac{1}{5}\ }\end{align*}}$．
　　　さらにAC⊥OQになるとき、オの式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{5}x^2+\frac{3}{5}x-\frac{7}{20}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \frac{1}{2}\ ,\ -\frac{7}{2}\ }\end{align*}}$

　　　∠AOCが鈍角になるとき、cos∠AOC＜0になるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=1\cdot\sqrt{x^2+\frac{9}{4} }\cdot\cos\angle AOC=x<0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{ \left( -\frac{7}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\ \cos\angle AOC=-\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\angle AOC=\underline{\ -\frac{7}{\sqrt{58}}\ }\end{align*}}$




　　穴埋めばっかりで面白くないですね＾＾；；