ア 1　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{8}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\left(n-1 \right)}{2}\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$　　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\left(n+1 \right)}{2}\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left(n-1 \right)\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$

　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\left( n-1\right)\left(n-2 \right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\left(n+1 \right)\left(n+2 \right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$

　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(n+1 \right)\left( n+2\right)\left(n+3 \right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$　　　　


【解説】

　　　S₁=0、1、2、3なので、P₁=1
　　　S₂≦3となるのは、
　　　　　　0+0、0+1、0+2、0+3、1+0、1+1、
　　　　　　1+2、2+0、2+1、3+0　
　　　の10通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=\frac{10}{4^2}=\underline{\ \frac{5}{8}\ }\end{align*}}$ ．

　　　n≧3の場合
　　　【S_n=0となるとき】
　　　　　n回すべてが0であればよいので、その確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$

　　　【S_n=1となるとき】
　　　　　0がn－1回、1が1回出ればよいので、その確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n!}{\left(n-1 \right)!}\cdot\left( \frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ n\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$　　……エ

　　　【S_n=2となるとき】
　　　　・0がn－1回、2が1回出る確率は、エと等しく $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$
　　　　・0がn－2回、1が2回出る確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n!}{\left(n-2 \right)!\ 2!}\cdot\left( \frac{1}{4}\right)^{n-2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2=\underline{\ \frac{n\left(n-1 \right)}{2}\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$
　　　よって、これらの合計は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left( \frac{1}{4}\right)^n+\frac{n\left(n-1 \right)}{2}\left( \frac{1}{4}\right)^n=\underline{\ \frac{n\left(n+1 \right)}{2}\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$

　　　【S_n=3となるとき】
　　　　・0がn－1回、3が1回出る確率は、エと等しく $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$
　　　　・0がn－2回、1が1回、2が1回出る確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n!}{\left(n-2 \right)!}\cdot\left( \frac{1}{4}\right)^{n-2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ n\left(n-1 \right)\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$
　　　　・0がn－3回、1が3回出る確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n!}{\left(n-3 \right)!\ 3!}\cdot\left( \frac{1}{4}\right)^{n-3}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^3=\underline{\ \frac{n\left(n-1 \right)\left(n-2\right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$
　　　よって、これらの合計は
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\left( \frac{1}{4}\right)^n+n\left(n-1 \right)\left( \frac{1}{4}\right)^n+\frac{n\left(n-1 \right)\left(n-2\right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n=\underline{\ \frac{n\left(n+1 \right)\left(n+2\right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$

　　以上より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n=\left( \frac{1}{4}\right)^n+n\left( \frac{1}{4}\right)^n+\frac{n\left(n+1 \right)}{2}\left( \frac{1}{4}\right)^n+\frac{n\left(n+1 \right)\left(n+2\right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\left(n+1 \right)\left( n+2\right)\left(n+3 \right)}{6}\left( \frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$




　　上から順に計算しましょう。