第4問
放物線y=x2+4x上の3点A(－4，0)、B(1，5)、P(p，p2+4p)
（－4＜p＜1）を考える。△ABPの外接円Cの中心の座標を(s，t)
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
(2) 線分APの垂直二等分線の方程式を求めよ。
また、sをpの式で表せ。
(3) pは－4＜p＜1の範囲を動くとき、sの取り得る値の範囲を求めよ。
(4) pは－4＜p＜1の範囲を動くとき、円Cの半径の最小値とそのときの
pの値を求めよ。
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【解答】
(1)
線分ABの垂直二等分線をL1とすると、L1上の点(x，y)は
2点A、Bから等距離にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left( x+4\right)^2+y^2}=\sqrt{\left( x-1\right)^2+\left(y-5 \right)^2}\end{align*}}$ ．
両辺を2乗して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x+y-1=0\ }\end{align*}}$
となり、これが求めるL1の方程式である。
(2)
線分APの垂直二等分線をL2とすると、L2上の点(x，y)は
2点A、Pから等距離にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left( x+4\right)^2+y^2}=\sqrt{\left( x-p\right)^2+\left\{y-\left(p^2+4p \right) \right\}^2}\end{align*}}$ ．
両辺を2乗して整理すると、p≠－4より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2p+8 \right)x+\left(2p^2+8p \right)y-p^4-8p^3-17p^2+16=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(p+4 \right)x+2p\left(p+4 \right)y-\left( p+4\right)\left(p^3+4p^2+p-4 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2x+2py-p^3-4p^2-p+4=0\ }\end{align*}}$
となり、これが求めるL2の方程式である。
△ABPの外接円Cの中心はL1とL2の交点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+t-1=0\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2s+2pt-p^3-4p^2-p+4=0\end{align*}}$
であり、これらからtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2s+2p\left( -s+1\right)-p^3-4p^2-p+4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2 -2p\right)s=p^3+4p^2-p-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(p-1\right)s=\left( p-1\right)\left(p^2+5p+4 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\ -\frac{1}{2}\left(p^2+5p+4 \right)\ }\ \ \left(\because\ p\ne 1\right)\end{align*}}$
(3)
(2)で求めたsの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-\frac{1}{2}\left(p+\frac{5}{2} \right)^2+\frac{9}{8}\end{align*}}$
と変形できるので、－4＜p＜1の範囲において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -5\lt s\leqq \frac{9}{8}\ }\end{align*}}$
である。
(4)
円Cの中心は直線L1上にあるので、半径が最小になるのは、
中心が線分ABの中点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( -\frac{3}{2}\ ,\ \frac{5}{2}\right)\end{align*}}$ （Mとする）と一致するとき
である。
よって、半径rの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{min}=AM=\sqrt{\left\{ -\frac{3}{2}-(-4)\right\}^2+\left(\frac{5}{2}-0 \right)^2}=\underline{\ \frac{5\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$ ．
円Cの中心はL2上にもあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cdot\left(- \frac{3}{2}\right)+2p\cdot\frac{5}{2}-p^3-4p^2-p+4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^3+4p^2-4p-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p-1 \right)\left(p^2+5p+1 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\ \ \ }\left(\because\ -4\lt p<1 \right)\end{align*}}$
今年の関学は、記述が1題だけでしたね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/07(金) 02:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2015(全学)
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