ア 1　　　　イ 0　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{9}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{2}{3}r_{n-1}\end{align*}}$

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}r_{n-1}\end{align*}}$　　　　 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}p_{n-2}+\frac{2}{9}\end{align*}}$

　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^{n}+\frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　 ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^{n+1}+\frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　　　どの日も京都・大阪・神戸のいずれかに店を出すので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n+r_n=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$　　……ア
　　　1日目が京都のとき、2日目は大阪か神戸のいずれかである。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$　　……イ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$　　……ウ
　　　
　　　n日目に京都に出すためには、前日には大阪または神戸に
　　　出す必要があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\ \frac{1}{3}q_{n-1}+\frac{2}{3}r_{n-1}\ }\end{align*}}$　　……エ
　　　n日目に大阪に出すためには、前日には京都または大阪に
　　　出す必要があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\underline{\ \frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\ }\end{align*}}$　　……オ
　　　n日目に神戸に出すためには、前日には京都または神戸に
　　　出す必要があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\underline{\ \frac{2}{3}p_{n-1}+\frac{1}{3}r_{n-1}\ }\end{align*}}$　　……カ

　　　n≧3のとき、オ、カの式をエに代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}p_{n-2}+\frac{2}{3}q_{n-2} \right)+\frac{2}{3}\left( \frac{2}{3}p_{n-2}+\frac{1}{3}r_{n-2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{9}p_{n-2}+\frac{2}{9}q_{n-2}+\frac{2}{9}r_{n-2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}p_{n-2}+\frac{2}{9}\ }\ \ \left(\because\ p_{n-2}+q_{n-2}+r_{n-2}=1 \right)\end{align*}}$　　……キ
　　　となり、この式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(p_{n-2}- \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$　　……(#)
　　　と変形できる。

　　　nが偶数のとき、n=2N （N：2以上の自然数）とおくと、
　　　(#)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(p_{2(N-1)}- \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
　　　となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_{2N}-\frac{1}{3} \right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N}-\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3} \right)^{N-1}\left(p_2-\frac{1}{3} \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{2N}=-\left(\frac{1}{3}\right)^N+\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=-\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n}{2}}+\frac{1}{3}=\underline{\ -\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{n}+\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$　　……ク
　　　これは、n=2のときも満たす。


　　　nが奇数のとき、n=2N-1 （N：2以上の自然数）とおくと、
　　　(#)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N-1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\left(p_{2(N-1)-1}- \frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
　　　となり、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_{2N-1}-\frac{1}{3} \right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{2N-1}-\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3} \right)^{N-2}\left(p_3-\frac{1}{3} \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{2N-1}=2\left(\frac{1}{3}\right)^N+\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=2\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{3}=\underline{\ 2\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{n+1}+\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$　　……ケ
　　　これは、n=1のときも満たす。

　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{3}<1\end{align*}}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}p_{2N}=\lim_{N\rightarrow\infty}p_{2N-1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n}=\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$　 ……コ




　　この手の問題は、一度くらい解いたことあるでしょ。