第３問
自然数nに対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_0^1\frac{1-\left(-x\right)^n}{1+x}\ dx\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k\left(k+1\right)}\end{align*}}$
とおく。このとき以下の各問いに答えよ。
(１) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
(２) Tn－2Snをｎを用いて表せ。
(３) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|=\left|\int_0^1\frac{-\left(-x\right)^n}{1+x}\ dx\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\left(-1\right)^{n-1}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\right|\end{align*}}$
0≦x≦1の範囲において不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{x^n}{1+x}\leqq x^n\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\leqq\int_0^1 x^n\ dx\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\right|=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \int_0^1 x^n\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{n+1}\ x^{n+1}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Sn=\int_0^1\frac{1-\left(-x\right)^n}{1-\left(-x\right)}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left\{1+\left(-x\right)+\left(-x\right)^2+\left(-x\right)^3+\ldots +\left(-x\right)^{n-1}\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x-\frac{1}{2}\left(-x\right)^2-\frac{1}{3}\left(-x\right)^3-\frac{1}{4}\left(-x\right)^4-\ldots -\frac{1}{n}\left( -x\right)^n\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{1}{2}\left(-1\right)^2-\frac{1}{3}\left(-1\right)^3-\frac{1}{4}\left(-1\right)^4-\ldots -\frac{1}{n}\left( -1\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^k}{k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^{k-1}}{k}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n-2S_n=\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k\left(k+1\right)}-2\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^{k-1}}{k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left( -1\right)^{k-1}\left\{\frac{1}{k\left( k+1\right)}-\frac{2}{k}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left( -1\right)^{k-1}\left\{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{2}{k}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left( -1\right)^{k}\left\{\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)-\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\ldots +\left( -1\right)^n\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\left( -1\right)^n}{n+1}-1\ }\end{align*}}$
(３)
(１)の不等式において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx=\bigg[\log\left|1+x \right|\bigg]_0^1=\log 2\end{align*}}$
これと(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}T_n=2\lim_{n\rightarrow\infty}S_n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left( -1\right)^n}{n+1}-1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\log 2-1\ }\end{align*}}$
(２)の1行目から2行目の変形が肝です！！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/16(金) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京医科歯科大 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
