2011東京医科歯科大 数学２

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【解答】

　　　OQ＝1より、点Qは原点中心、半径1の円（C₁とする）の
　　　周上で、第1象限内の部分にあるので、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta \right)\ \ \ \left(0<\theta< \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　と表すことができ、△OPQは二等辺三角形に
　　　なるので、Pの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\cos\theta\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
　　　と表せる。
　　　また、点Rのy座標をrとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OR+RP=\sqrt{\left(2\cos\theta \right)^2+r^2}+r=2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\cos^2\theta+r^2=\left(2-r \right)^2\ \ ,\ \ 2-r\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\end{align*}}$
　　　となるので、Rの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(2\cos\theta\ ,\ \sin^2\theta \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。


　(１)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より、点Pのx座標の範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0<2\cos\theta<2\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　点R(X，Y)とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^2\theta+\sin^2\theta=Y+\left(\frac{X}{2} \right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=-\frac{1}{4}X^2+1\end{align*}}$
　　　となるので、点Rは放物線
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{4}x^2+1\end{align*}}$　（これをC₂とする）
　　　上で、第1象限内の部分を動く。
　　　C₁：x²＋y²＝1とC₂の2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{4}\left(1-y^2 \right)+1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2-4y+3=\left(y-1 \right)\left(y-3 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=1\ \ \ \left(\because\ y\leqq 1 \right)\end{align*}}$
　　　となるので、C₁とC₂の位置関係は
　　　右図のようになる。

　　　点QにおけるC₁の接線をLとすると、
　　　Lの方程式は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos\theta \right)x+\left(\sin\theta \right)y=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x+\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\theta-\left\{-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot \cos\theta+\frac{1}{\sin\theta} \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3\theta+2\left(1-\sin^2\theta \right)-1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3\theta-2\sin^2\theta+1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sin\theta}\left(\sin\theta-1 \right)\left(\sin\theta- \frac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(\sin\theta-\frac{1-\sqrt5}{2} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >0\ \ \ \left(\because\ 0<\sin\theta<1 \right)\end{align*}}$
　　　より、点Rは領域
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y>-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x+\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　の内部、すなわち、Lより上側にある。
　　　よって、線分QRと円C₁は、
　　　点Q以外に共有点をもたない。

　　　また、$\scriptsize\sf{\theta}$ が0→ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ と変化するとき、
　　　　　　点Qは(1，0)→(0，1)
　　　　　　点Rは(2，0)→(0，1)
　　　のように動く。
　　　よって、線分QRは、下図のようにC₁、C₂およびx軸で囲まれる
　　　第1象限内の図形の内部を通過する（座標軸上の点を除く）。

　　　　　　　　　

　　　この図形の面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\left( -\frac{1}{4}x^2+1\right)dx-\frac{\pi}{4}\cdot 1^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{12}x^3+x \right]_0^2-\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}-\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　四角形MPRQの面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cos\theta\left(\sin\theta+\sin^2\theta \right)\end{align*}}$
　　　であり、$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '=-\frac{1}{2}\sin\theta\left(\sin\theta+\sin^2\theta \right)+\frac{1}{2}\cos\theta\left(\cos\theta+2\sin\theta \cos\theta\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\sin^3\theta+\sin^2\theta-\left(1+2\sin\theta \right)\cos^2\theta \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\sin^3\theta+\sin^2\theta-\left(1+2\sin\theta \right)\left(1-\sin^2\theta\right) \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(3\sin^3\theta+2\sin^2\theta-2\sin\theta +1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(\sin\theta+1\right)\left(3\sin^2\theta-\sin\theta-1 \right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\ \ \ \left(\because\ 0<\sin\theta<1 \right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\ \, \ \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
　　　となる$\scriptsize\sf{\alpha}$ を考えると、Sの増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、x＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ のときSは最大となり、
　　　このときの点Pのx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\theta=2\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)^2}=\underline{\ \frac{\sqrt{22-2\sqrt{13}}}{3}\ }\end{align*}}$
　



　　(２)が大変ですね。
　　線分QRがC₁とQ以外の共有点を持ってしまうと、
　　通過する図形が変わってきます。