第3問
実数aは0＜a＜4をみたすとする。座標平面において、2曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\sqrt{a}\cos x\ \ ,\ \ C_2:\ y=\sin 2x\end{align*}}$
の交点で、そのx座標が0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ となるものをPとする。
点Pにおいて、C1の接線とC2の接線のなす角を$\small\sf{\theta}$ （0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )
とする。次の問いに答えよ。
(1) tan$\small\sf{\theta}$ をaで表せ。
(2) aが0＜a＜4の範囲を動くとき、$\small\sf{\theta}$ が最大になるようなaの値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pのx座標をp （0＜p＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a}\cos p=\sin 2p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{a}\cos p=2\sin p\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin p=\frac{\sqrt a}{2}\ \ \ \left(\because\ \cos p\ne 0\right)\end{align*}}$ ……(#)
C1、C2の導関数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=-\sqrt a\sin x\ \ ,\ \ y\ '=2\cos 2x\end{align*}}$
なので、PにおけるC1、C2の接線をそれぞれL1、L2
とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y=-\sqrt{a}\left(\sin p\right)\left(x-p\right)+\sqrt a\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y=2\left(cos 2p\right)\left(x-p\right)+\sin 2p\end{align*}}$
L1、L2がx軸正方向となす角をそれぞれ$\scriptsize\sf{\theta}$ 1、$\scriptsize\sf{\theta}$ 2とおくと、
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_1=-\sqrt a\sin p=-\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta_2=2\cos 2p=2\left(1-2\sin^2p\right)=2-a\end{align*}}$
L1とL2がなす角が$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\left|\tan\left(\theta_2-\theta_1\right)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{\left(2-a\right)-\left(-\frac{a}{2}\right)}{1+\left(2-a\right)\cdot\left(-\frac{a}{2}\right)}\right|\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{4-a}{a^2-2a+2}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4-a}{a^2-2a+2}\ }\ \ \left(\because\ 0\lt a<4\ ,\ a^2-2a+2=\left(a-1\right)^2+1>0\right)\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\tan\theta}=\frac{a^2-2a+2}{4-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a-2+\frac{10}{4-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(4-a\right)+\frac{10}{4-a}-6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\sqrt{\left(4-a\right)\cdot\frac{10}{4-a}}-6\end{align*}}$ ←4－a＞0より相加相乗
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{10}-6\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta\leqq \frac{1}{2\sqrt{10}-6}\end{align*}}$
となるので、tan$\scriptsize\sf{\theta}$ の最大値は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2\sqrt{10}-6}\end{align*}}$ である。
tan$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大になるのは、相加・相乗平均の等号が成立する
ときなので、aの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4-a=\frac{10}{4-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 4-a=\sqrt{10}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\ 4-\sqrt{10}\ }\end{align*}}$
(1) 絶対値を付けておきましょう
(2) tan$\scriptsize\sf{\theta}$ をaで微分しても構いません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/01/23(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2000
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
