2010九州大 理系数学５

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【解答】

　　　P(x，y)はy＝x²上にあるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf X\\ \sf Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{ax+by}{cx+dy}=\binom{ax+bx^2}{cx+dx^2}\end{align*}}$　　……(#)

　(１)
　　　Qが放物線9X＝2Y²上にあるとき、(#)より、　
　　　　　　　　9(ax＋bx²)＝2(cx＋dx²)²
　　　　　⇔　 2d²x⁴＋4cdx³＋(2c²－9b)x²－9ax＝0
　　　となり、これが任意のxに対して成り立つので、
　　　　　　　 2d＝4cd＝2c²－9b＝9a＝0
　　　　　⇔　a＝d＝0　かつ　9b＝2c²
　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 2t^2 \\ \sf 3t & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$　　（t：実数）
　　　このとき、(#)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\binom{2t^2x^2}{3tx}\end{align*}}$
　　　となり、点Q(X，Y)が放物線9X＝2Y²全体を動くためには、
　　　t≠0であればよい。よって、題意を満たす行列Aは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 2t^2 \\ \sf 9c & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ \ \left(t\ne 0 \right)\ }\end{align*}}$ ．　


　(２)
　　　Qが円X²＋(Y－1)²＝1上にあるとき、(#)より、　
　　　　　　(ax＋bx²)²＋(cx＋dx²－1)²＝1
　　　⇔　 (b²＋d²)x⁴＋2(ab＋cd)x³＋(a²＋c²－2d)x²－2cx＝0
　　　となり、これが任意のxに対して成り立つので、
　　　　　　　 b²＋d²＝ab＋cd＝a²＋c²－2d＝c＝0
　　　　　⇔　a＝b＝c＝d＝0
　　　このとき、(#)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
　　　となるので、点Q(X，Y)は円X²＋(Y－1)²＝1上にある。
　　　よって、題意を満たす行列Aは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$ ．　


(３)
　　放物線y＝x²上の点(0，0)は、どんなAに対しても点(0，0)に
　　移るので、Lは原点を通る。
　　(ⅰ) Lがy軸と平行なとき
　　　　　　点Q(X，Y)は X＝0 を満たすので、(#)より
　　　　　　　　　　ax＋bx²＝0
　　　　　　となり、これが任意のxに対して成り立つので、
　　　　　　　　　　a＝b＝0．
　　　　　　このとき(#)より、
　　　　　　　　　　Y＝cx＋dx²
　　　　　　となる。
　　　　　　　　(ア)d＞0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=d\left(X+\frac{c}{2d}\right)^2-\frac{c^2}{4d^2}\geqq -\frac{c^2}{4d^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　(イ)d＜0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=d\left(X+\frac{c}{2d}\right)^2-\frac{c^2}{4d^2}\leqq -\frac{c^2}{4d^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　(ウ)c＝d＝0のとき、Y＝0
　　　　　　(ア)～(ウ)はいずれの場合も、Yがすべての実数値を
　　　　　　とらないので、題意を満たすためには、
　　　　　　　　　　a＝b＝d＝0　かつ　c≠0　
　　　　　　であればよく、このとき直線Lの方程式は、x＝0である。

　　(ⅱ) Lがy軸と平行でないとき
　　　　　　Lの方程式をy＝mxとすると、Qがこの直線上にあるので
　　　　　　(#)より
　　　　　　　　　　cx＋dx²＝m(ax＋bx²)
　　　　　　　⇔　 (bm－d)x²＋(am－c)x＝0
　　　　　　となり、これが任意のxに対して成り立つので、
　　　　　　　　　 　bm－d＝am－c＝0．
　　　　　　ここで(#)より
　　　　　　　　　　X＝ax＋bx²
　　　　　　であり、これがすべての実数値をとるためには、
　　　　　　(ⅰ)の(ア)～(ウ)と同様に考えると、
　　　　　　　　　　　　b＝0　かつ　a≠0
　　　　　　であればよい。
　　　　　　以上より、題意を満たすための条件は
　　　　　　　　　　　　a≠0 かつ b＝d＝0
　　　　　　であり、Lの方程式は、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{c}{a}x\ }\end{align*}}$ である。





　　(３)は、細かい所に気をつけましょう。