2010九州大 理系数学４

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【解答】

　(１)
　　　角tだけ回転したときの円の中心をQ、
　　　x軸との接点をTとおくと、
　　　　　　　　∠TQP＝ｔ
　　　　　　　　OT＝弧PT＝at
　　　より、Qの座標は、(at，a)となる。
　　　ここで、円周上にR（at＋a，a)となる
　　　点Rをとると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}\end{align*}}$ は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QR}\end{align*}}$ をQ中心に
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{2}-t\end{align*}}$ だけ回転させたものなので
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}=\left( a\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t \right)\ ,\ a\sin\left(\frac{3\pi}{2}-t \right)\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( -\sin t\ ,\ -\cos t\right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf QP}\end{align*}}$
　　　より、Pの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(at-a\sin t\ ,\ a-a\cos t \right)\ }\end{align*}}$


　(２)
　　　(１)で求めた
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(x\ ,\ y \right)=\left(at-a\sin t\ ,\ a-a\cos t \right)\end{align*}}$
　　　に対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=a\left(1-cos t \right)\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=a\sin t\end{align*}}$
　　　なので、曲線Cの増減および概形は次のようになる。

　　　　　

　　　よって、Cとx軸で囲まれた図形の面積Sは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{2\pi a}y\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}\left(a-a\cos t \right)\cdot a\left(1-\cos t \right)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos t+\cos^2t \right)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos t+\frac{1+\cos 2t}{2} \right)dt\end{align*}}$　　←半角公式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{1}{4}\sin 2t \right]_0^{2\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\pi a^2\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　曲線Cの長さをLとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\int_0^{2\pi}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right)^2+\left( \frac{dy}{dt}\right)^2}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}\sqrt{\left\{a\left(1-\cos t \right)\right\}^2+\left(a\sin t\right)^2}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\int_0^{2\pi}\sqrt{2\left(1-\cos t \right)}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\int_0^{2\pi}\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2} }\ dt\end{align*}}$　　←半角公式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a\int_0^{2\pi}\sin \frac{t}{2}\ dt\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq \frac{t}{2}\leqq \pi \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a\left[-2\cos\frac{t}{2} \right]_0^{2\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 8a\ }\end{align*}}$




　　この曲線はサイクロイドってヤツですね。
　　(３)は、曲線の長さの公式は知ってますか？？