第１問
三角形ABCの3辺の長さをa＝BC、b＝CA、c＝ABとする。実数t≧0を
与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上にAP＝tcとなるように点Pを
とる。次の問いに答えよ。
(１) CP2をa、b、c、tを用いて表せ。
(２) 点PがCP＝aを満たすとき、tを求めよ。
(３) (２)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つあるとき、∠Aと∠Bに
関する条件を求めよ。
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【解答】
(１)
△ABCで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\end{align*}}$
△APCで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CP^2=b^2+\left(tc\right)^2-2b\cdot tc\cdot\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ c^2t^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)t+b^2\ }\end{align*}}$
(２)
(１)と CP＝aより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2t^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)t+b^2=a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c^2t^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)t-\left(a^2-b^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-1\right)\left(c^2t+a^2-b^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ ,\ \frac{b^2-a^2}{c^2}\end{align*}}$ ．
よって、
b≧aのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=1\ ,\ \frac{b^2-a^2}{c^2}\ }\end{align*}}$
b＜aのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=1\ }\end{align*}}$
(３)
(２)より、b＜aの時は明らかに題意を満たさないので、
b≧aすなわち、∠B≧∠Aである必要がある。
このとき、Pは辺AB上にあり、Bと異なる点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{b^2-a^2}{c^2}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq b^2-a^2\lt c^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2\lt a^2+c^2\end{align*}}$
となるので、∠Bは鋭角である。
以上より、題意を満たすための条件は、
∠A≦∠B＜90°
である。
図を追加しておきました。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/18(木) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2010
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