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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010三重大 医学部 数学4



第4問

  Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ。

 (1) p、qを実数とし、q≠0とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}X=X\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}\end{align*}}$ ならば、
    Xは $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ の形で表せることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、自然数nに対し $\small\sf{\begin{align*} \sf X^n=\begin{pmatrix} \sf a^n&\sf na^{n-1}b \\ \sf 0 & \sf a^n \end{pmatrix}\end{align*}}$ と
    なることを数学的帰納法により示せ。ただしa0=1とする。

 (3) m、nを自然数とする。Xの各成分は0以上の整数で、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf X^{n+1}-X^n=\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$ を満たすものとする。このような
    行列Xが存在するような組(m,n)をすべて求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/11/20(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2010(医)
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