第１問
2×2行列A、Rを
$\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \rm 2&\rm 3 \\ \rm 2 & \rm 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ R=\begin{pmatrix} \rm 2&\rm 2 \\ \rm 2 & \rm -3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。また、数列{pn}、{qn}は、次の関係式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf p_n\\ \sf q_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf p_{n+1}\\ \sf q_{n+1}\end{pmatrix}\ \ (n\geq 1)\ \ ,\ \ p_1+2q_1=1\end{align*}}$
を満たすものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) B＝RAR-1とするとき、Bを求めよ。
(２) 数列{pn}、{qn}が、すべての自然数nに対して、
pn≧0、qn≧0を満たすとき、p1、q1の値を求めよ。
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【解答】
(１)
detR＝－6－4＝－10（≠0)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R^{-1}=-\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf -3&\sf -2 \\ \sf -2 & \sf 2 \end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B=\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 3 \\ \sf 2& \sf 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 8&\sf 8 \\ \sf -2 & \sf 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 40&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -10 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 4&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(２)
任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf p_n\\ \sf q_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf p_{n+1}\\ \sf q_{n+1}\end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \binom{p_{n-1}}{q_{n-1}}=A\begin{pmatrix}\sf p_n\\ \sf q_n\end{pmatrix}\ ,\ \begin{pmatrix}\sf p_{n-2}\\ \sf q_{n-2}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf p_{n-1}\\ \sf q_{n-1}\end{pmatrix}\ ,\ \ldots\ ,\ \begin{pmatrix}\sf p_{1}\\ \sf q_{1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf p_{2}\\ \sf q_{2}\end{pmatrix}\end{align*}}$
が成り立ち、これらを順次代入していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf p_1\\ \sf q_1\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}\sf p_{n+1}\\ \sf q_{n+1}\end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(#)
一方、B＝RAR-1の両辺をn乗すると、
Bn＝(RAR-1)n
＝RAR-1RAR-1…RAR-1
＝RAA…AAR （∵R-1R＝E）
＝RAnR-1
となり、両辺に右からR、左からR-1をかけると、
An＝R-1BnR
ここで、(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B^n=\begin{pmatrix} \sf 4^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf (-1)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A^n=\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 4^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf (-1)^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2\cdot 4^n&\sf 2\cdot 4^n \\ \sf 2\cdot (-1)^n & \sf -3\cdot (-1)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{10}\begin{pmatrix} \sf 6\cdot 4^n+4\cdot (-1)^n&\sf 6\cdot 4^n-6\cdot (-1)^n \\ \sf 4\cdot 4^n-4\cdot (-1)^n & \sf 4\cdot 4^n+6\cdot (-1)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}\sf 3\cdot 4^n+2\cdot (-1)^n&\sf 3\cdot 4^n-3\cdot (-1)^n \\ \sf 2\cdot 4^n-2\cdot (-1)^n & \sf 2\cdot 4^n+3\cdot (-1)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf det\left(A^n \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{5^2}\bigg\{\left(3\cdot 4^n+2\cdot (-1)^n \right)\left( 2\cdot 4^n+3\cdot (-1)^n\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\left(3\cdot 4^n-3\cdot (-1)^n \right)\left( 2\cdot 4^n-2\cdot (-1)^n\right) \bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{5^2}\left[\left\{6\cdot 16^n+13\cdot (-4)^n +6\right\}-\left(6\cdot 16^n-12\cdot (-4)^n +6\right\}\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{5^2}\cdot 24\cdot (-4)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf = (-4)^n\ \ (\ne 0)\end{align*}}$
なので、Anの逆行列が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(A^n \right)^{-1}=\frac{1}{(-4)^n}\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix} \sf 2\cdot 4^n+3\cdot (-1)^n&\sf -3\cdot 4^n+3\cdot (-1)^n \\ \sf -2\cdot 4^n+2\cdot (-1)^n & \sf 3\cdot 4^n+2\cdot (-1)^n\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf=\frac{1}{5\cdot 4^n}\begin{pmatrix} \sf 2\cdot (-4)^n+3&\sf -3\cdot (-4)^n+3 \\ \sf -2\cdot (-4)^n+2 & \sf 3\cdot (-4)^n+2\end{pmatrix}\end{align*}}$
(#)の両辺に左から(An)-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \binom{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{1}{5\cdot 4^n}\begin{pmatrix} \sf 2\cdot (-4)^n+3&\sf -3\cdot (-4)^n+3 \\ \sf -2\cdot (-4)^n+2 & \sf 3\cdot (-4)^n+2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf p_1\\ \sf q_1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{5\cdot 4^n}\begin{pmatrix}\sf\left\{2\cdot (-4)^n+3\right\}p_1+\left\{-3\cdot (-4)^n+3\right\}q_1\\ \sf\left\{-2\cdot (-4)^n+2\right\}p_1+\left\{3\cdot (-4)^n+2\right\}q_1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{5\cdot 4^n}\begin{pmatrix}\sf 3\left(p_1+q_1\right)+\left(2p_1-3q_1\right)(-4)^n\\ \sf 2\left(p_1+q_1\right)-\left(2p_1-3q_1\right)(-4)^n\end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}=\frac{3}{5\cdot 4^n}\left(p_1+q_1\right)+\frac{(-1)^n}{5}\left(2p_1-3q_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+1}=\frac{2}{5\cdot 4^n}\left(p_1+q_1\right)-\frac{(-1)^n}{5}\left(2p_1-3q_1\right)\end{align*}}$ ……(ⅰ)
任意のnに対して、pn≧0、qn≧0を満たすので、
nを限りなく大きくすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_{2n+1}=\frac{1}{5}\left(2p_1-3q_1\right)\geq0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_{2n+1}=-\frac{1}{5}\left(2p_1-3q_1\right)\geq0\end{align*}}$ ．
これら2式を同時に満たすためには、
2p1－3q1＝0
である必要がある。これとp1＋2q1＝1を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_1=\frac{3}{7}\ \ ,\ \ q_1=\frac{2}{7}\end{align*}}$ ．
逆にこのとき(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}=\frac{3}{7\cdot 4^n}>0\ \ ,\ \ q_{n+1}=\frac{2}{7\cdot 4^n}>0\end{align*}}$
となり、題意を満たすので、求めるp1、q1の値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ p_1=\frac{3}{7}\ \ ,\ \ q_1=\frac{2}{7}\ }\end{align*}}$
である。
(An)-1を求める必要があるので面倒です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/02(火) 00:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2006
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