第３問
aは定数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1-a\cos x}{1+\sin x}\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \pi\right)\end{align*}}$
について、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$ （0＜x＜$\small\sf{\pi}$ ）とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}\end{align*}}$ をtで表せ。
(２) f(x)が0＜x＜$\small\sf{\pi}$ の範囲で極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。
また、その極値をaで表せ。
(３) aが(２)で定めた範囲にあるとき、2点(0，f(0))、($\small\sf{\pi}$ ，f($\small\sf{\pi}$ ))を通る
直線とy＝f(x)のグラフで囲まれる図形をx軸の周りに回転してできる
回転体の体積を求めよ。
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【解答】
(１)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2+1=\frac{\cos^2x+\left(1+2\sin x+\sin^2x\right)}{\left(1+\sin x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(1+\sin x\right)}{\left(1+\sin x\right)^2} \ \ \ \ \left(\because \sin^2x+\cos^2x=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{1+\sin x}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{\sin x\left(1+\sin x\right)-\left(-\cos x\right)\cdot\cos x}{\left(1+\sin x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+\sin x}{\left(1+\sin x\right)^2} \ \ \ \ \left(\because \sin^2x+\cos^2x=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^2+1}{2}\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\frac{dt}{dt}}=\underline{\ \frac{2}{t^2+1}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{t^2+1}{2}>0\end{align*}}$ であり、
x＝0のとき、t＝－1
x＝$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、t＝1
なので、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でtは単調に増加し、
－1＜t＜1の範囲の値をとる。 ……(ⅲ)
y＝f(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{1+\sin x}+a\cdot\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^2+1}{2}+at\end{align*}}$ ←(ⅰ)、(ⅱ)より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\left(t+a\right)\cdot\frac{t^1+1}{2}\end{align*}}$ ←(１)より
となり、t＝－aのときに $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$ となる。
よって、－1＜a＜1であれば、(ⅲ)より、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$ となる
xが0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲にただ1つ存在し、
その前後で $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ の符号が変化する。すなわち、
f(x)が極値を持つので、求めるaの値の範囲は
－1＜a＜1
である。
このとき、極値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{(-a)^2+1}{2}+a\cdot (-a)=\underline{\ \frac{1-a^2}{2}\ }\end{align*}}$
となる。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\frac{1-a\cos 0}{1+\sin 0}=1-a\ \ ,\ \ f\ (\pi)=\frac{1-a\cos\pi}{1+\sin\pi}=1+a\end{align*}}$
より、2点(0，f(0))、($\scriptsize\sf{\pi}$ ，f($\scriptsize\sf{\pi}$ ))を通る直線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=\frac{2a}{\pi}\ x+1-a\end{align*}}$
であり、右図の赤色部分をx軸の周りに回転して
できる回転体の体積をV1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^{\pi}\left(\frac{2a}{\pi}x+1-a\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{\pi}{3\cdot 2a}\left(\frac{2a}{\pi}x+1-a\right)^3\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{6a}\bigg\{\left(1+a\right)^3-\left(1-a\right)^3\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{3}\left(a^2+3\right)\end{align*}}$
また、右図の青色部分をx軸の周りに回転して
できる回転体の体積をV2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^{\pi}\bigg\{ f\ (x)\bigg\}^2dx\end{align*}}$
であり、(ⅱ)のように置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_{-1}^{1}\left(\frac{t^2+1}{2}+at\right)^2\cdot\frac{2}{t^2+1}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\left\{\left(t^2+1\right)-4at+\frac{4a^2t^2}{t^2+1}\right\}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{0}^{1}\left\{\left(t^2+1\right)+4a^2\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)\right\}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{t^3}{3}+\left(1+4a^2\right)t\right]_0^1-4\pi a^2\int_0^1\frac{1}{t^2+1}dt\end{align*}}$ ．
ここで、tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝tと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{1}{t^2+1}dt=\int_0^{\pi /4}\frac{1}{\tan^2\theta+1}\cdot\left(1+\tan^2\theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /4}d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\left\{\frac{1}{3}+\left(1+4a^2\right)\right\}-4\pi a^2\cdot\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(\frac{4}{3}+4a^2\right)-\pi^2 a^2\end{align*}}$
なので、y＝f(x)とLで囲まれた図形の回転体の体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1-V_2=\underline{\ \frac{\pi^2}{3}\left(4a^2+3\right)-\frac{4\pi}{3}\left(3a^2+1\right)\ }\end{align*}}$
これもボリュームたっぷりの問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2014
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