第２問
OA＝OB＝1、∠AOB＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の△OABを含む平面をHとする。
平面H上に無い点Cから平面H、直線OA、直線OBに降ろした
垂線の足をそれぞれD、E、Fとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ q=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ r=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
として、以下の問いに答えよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の内積
である。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf DE}\end{align*}}$ ＝0であることを示せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ およびp、q、rで表せ。
(３) EFの長さをp、q、rで表せ。
(４) p＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ 、q＝1、r＝2であるとき、ODの長さを求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=1\ ,\ p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ q=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ r=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ……(#)
(１)
CD⊥H よりCD⊥OA．
これとCE⊥OAより、平面CDE⊥OA
となるので、DE⊥OA．
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf DE}=0\end{align*}}$ となる。
(２)
EはOA上にあるので、実数eを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=e\ \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
と表すことができ、CE⊥OAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CE}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(e\ \overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot \overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e=r\end{align*}}$ ←(#)より
よって、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OE}=r\ \overrightarrow{\sf a}\ }\end{align*}}$ であり、
同様に考えると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OF}=q\ \overrightarrow{\sf b}\ }\end{align*}}$ となる。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf EF}|^2=|q\ \overrightarrow{\sf b}-r\ \overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$ ←(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =q|\overrightarrow{\sf b}|^2-2qr\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+r^2|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =q^2-2pqr+r^2\end{align*}}$ ←(#)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf EF}|=\sqrt{q^2+r^2-2pqr}\ }\end{align*}}$
(４)
p＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ 、q＝1、r＝2のとき、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf EF}\right|=\sqrt{1^2+2^2-2\cdot \frac{1}{5}\cdot 1\cdot 2}=\sqrt{\frac{21}{5}}\end{align*}}$ ．
また、∠AOB＝$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=|\overrightarrow{\sf a}||\overrightarrow{\sf b}|\cos\theta=\frac{1}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{1}{5}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2}=\frac{2\sqrt6}{5}\ (>0)\ \ \ \left(\because 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
(１)と同様に、DF⊥OBなので、四角形OEDFは円に内接し、
ODがその直径となる。
よって、△OEFにおいて正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OD=\frac{EF}{\sin\theta}=\frac{\sqrt{\frac{21}{5}}}{\frac{2\sqrt6}{5}}=\underline{\ \frac{\sqrt{70}}{4}\ }\end{align*}}$
最後は、内接四角形に気づかないとムリです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/09(火) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2014
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