2014三重大 工学部 数学４

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【解答】

　(1)
　　　f(x)の第1次および第2次導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3}{2}\cos\left(\frac{3}{2}x\right)+\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-\frac{9}{4}\cos\left(\frac{3}{2}x\right)\end{align*}}$
　　　であり、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲において、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\left(\frac{3}{2}x\right)=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2}x=\frac{2}{3}\pi\ ,\ \frac{4}{3}\pi\ \ \ \ \left(\because 0\leqq \frac{3}{2}x\leqq \frac{3}{2}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{4}{9}\pi\ ,\ \frac{8}{9}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\frac{3}{2}x\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2}x=0\ ,\ \pi\ \ \ \ \left(\because 0\leqq \frac{3}{2}x\leqq \frac{3}{2}\pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
　　　なので、f(x)の増減・凹凸は次のようになる。

　　　　　　


　　　よって、y=f(x)のグラフの概形は次のようになる。

　　　　　　　　　　　


　(2)
　　　f(x)とg(x)の2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(\frac{3}{2}x\right)+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}x\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\frac{3}{2}x\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
　　　となるので、y=f(x)とy=g(x)の共有点の座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (0\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \left(\frac{2}{3}\pi\ ,\ \frac{\pi}{2}\right)\ }\end{align*}}$


　(3)
　　　y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形は下図のようになるので、
　　　求める回転体の体積をVとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{2\pi/3}\left\{\left(f\ (x)\right)^2-\left(g\ (x)\right)^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{2\pi/3}\bigg\{\left(\sin\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}x\right)^2-\left(\frac{3}{4}x\right)^2\bigg\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{2\pi/3}\left(\sin^2\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}x\sin\frac{3}{2}x\right)dx\end{align*}}$

　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3}{2}x\end{align*}}$　と置換すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ なので、

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\pi}\left(\sin^2t+t\sin t\right)\cdot\frac{2}{3}dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left\{\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}dt+\bigg[-t\cos t\bigg]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos tdt\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t-t\cos t+\sin t\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left(\frac{1}{2}\pi-\pi\cos \pi\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi^2\ }\end{align*}}$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



　　(3)の計算がイヤですが、答えがキレイになってスッキリ！