第4問
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAをx：(1－x)に
内部する点をP、辺OBの中点をMとする。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 直線CM上に、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=y\overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ となる点Qをとる。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ が垂直で
あるとき、yをxを用いて表せ。
(3) がx＜0＜x＜1の範囲を動くとき、三角形CMPの面積の最小値
を求めよ。
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【解答】
四面体OABCは一辺の長さが1の正四面体なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=1\cdot 1\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(#)
(1)
Mは辺OBの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}=\overrightarrow{\sf OM}-\overrightarrow{\sf OC}=\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}}\end{align*}}$
(2)
題意と(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=y\overrightarrow{\sf CM}=\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}-y\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OC}-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}-y\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ が垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf CM}=\left\{-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+y|\overrightarrow{\sf OB}|^2+2\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +4x\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}-2y\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-4\left(1-y\right)|\overrightarrow{\sf OC}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -x+y+\left(1-y\right)+2x-y-4\left(1-y\right)=0\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=1-\frac{x}{3}}\end{align*}}$
(3)
△CMPにおいて、(2)の条件を満たすようなPQは、
CMを底辺としたときの高さになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|^2=\left|-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2|\overrightarrow{\sf OA}|^2+\frac{y^2}{4}|\overrightarrow{\sf OB}|^2+\left(1-y\right)^2|\overrightarrow{\sf OC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -xy\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+y\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-2x\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\frac{y^2}{4}+\left(1-y\right)^2-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}y\left(1-y\right)-x\left(1-y\right)\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{3}{4}y^2-x-\frac{3}{2}y+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\frac{1}{2}x\left(1-\frac{x}{3}\right)+\frac{3}{4}\left(1-\frac{x}{3}\right)^2-x-\frac{3}{2}\left(1-\frac{x}{3}\right)+1\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{11}{12}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\end{align*}}$
よって、△CMPの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle CMP=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\sf CM}||\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt{\frac{11}{12}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\sqrt{11x^2-6x+3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\sqrt{11\left(x-\frac{3}{11}\right)^2+\frac{24}{11}}\end{align*}}$
0＜x＜1より、△CMPの面積の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle CMP_{min}=\frac{1}{8}\cdot\sqrt{\frac{24}{11}}=\underline{\ \frac{\sqrt{66}}{44}\ }\end{align*}}$
である。
やることは簡単なんですが、計算がイヤですね。。。。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/07/21(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2014
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