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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪大 理系数学5




第5問

  $\small\sf{n=1,2,3,\cdots }$ に対して、$\small\sf{\sf y=\log (nx)}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x-\frac{1}{n}\right)^2+y^2=1\end{align*}}$ の交点のうち、
  第1象限にある点を(pn,qn)とする。

 (1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 1-q_n^2 \leqq\frac{(e-1)^2}{n^2}\end{align*}}$ を示すことにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n=1\end{align*}}$ を証明せよ。
   ただし、eは自然数対数の底である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_{\frac{1}{n}}^{p_n}\ \log(nx)\ dx\end{align*}}$ をpnで表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ nS_n\end{align*}}$ を求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2011/11/09(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2009
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