2005京都大 理系数学４

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【解答】

　　　与式は
　　　　　　　　(a－b)(a²＋ab＋b²)＝7・31
　　　と変形できる。
　　　　　　　　　p＝a－b、　　q＝a²＋ab＋b²　　･･････(ア)
　　　とおくと、p、qはともに整数であり、
　　　　　　　　
　　　なので、
　　　　　(p，q)＝(1，217)、(7，31)、(31，17)、(217，1)　　･･････(イ)
　　　のいずれかである。

　　　(ア)よりaを消去すると、
　　　　　　　　　　･･････(ウ)
　　　bは実数なので、この方程式の判別式を考えると、
　　　　　　　　
　　　であり、(イ)のうちでこれを満たすものは
　　　　　　　　(p，q)＝(1，217)、(7，31)
　　　　のみである。

　　　(ⅰ) (p，q)＝(1，217)のとき
　　　　　　　　(ウ)　　⇔　b²＋b－72＝(b＋9)(b－8)＝0
　　　　　　　　　　　　 ⇔　b＝－9、8
　　　　　　　　となるので、(a，b)＝(－8，－9)、(9，8)

　　　(ⅱ) (p，q)＝(7，31)のとき
　　　　　　　　(ウ)　　⇔　b²＋7b＋6＝(b＋1)(b＋6)＝0
　　　　　　　　　　　　 ⇔　b＝－1、－6
　　　　　　　　となるので、(a，b)＝(6，－1)、(1，－6)

　　　以上より、　a³－b³＝217を満たす整数の組は、
　　　　　　　　(a，b)＝(－8，－9)、(9，8)、(6，－1)、(1，－6)



　　普通の不定方程式ですね。