青木ゼミ青木2005京都大　理系数学１

2005京都大　理系数学１

第１問

　　xy平面上の原点と点(1，2)を結ぶ線分（両端を含む）をLとする。
　　曲線y＝x²＋ax＋bがLと共有点をもつような実数の組(a，b)の
　　集合をab平面上に図示せよ。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　L：ｙ＝2x　（0≦x≦1）
　　　　　　　　C： y＝x²＋ax＋b
　　　とし、これら2式を連立させると、
　　　　　　　　2x＝x²＋ax＋b　⇔　x²＋(a－2)x＋b＝0　　･･････(#)
　　　となるので、LとCが共有点を持つためには、(#)が
　　　0≦x≦1の範囲に実数解を持てばよい。
　　　
　　　まず、(#)の判別式を考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　
　　　である必要がある。

　　　また、(#)の左辺をf(x)とおくと、　　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と変形できるので、放物線y＝f(x)の軸は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　である。

　　(ⅰ) (#)が0＜x＜1の範囲に異なる2つの実数解を持つとき
　　　　　y＝f(x)のグラフが右図のようになればよいので、
　　　　　　　　D≧0
　　　　　　　　f(0)＝b＞0
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＞0　⇔　b＞－a＋1　
　　　　　　　　0＜軸＜1　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　(ⅱ) (#)がx＝0を解に持つとき
　　　　　　　　f(0)＝b＝0

　　(ⅲ) (#)がx＝1を解に持つとき
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＝0　⇔　b＝－a＋1　

　　(ⅳ) (#)が0＜x＜1とx＜0の範囲に1つずつ実数解を持つとき
　　　　　　　　f(0)＝b＜0
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＞0　⇔　b＞－a＋1　

　　(ⅴ) (#)が0＜x＜1と1＜xの範囲に1つずつ実数解を持つとき
　　　　　　　　f(0)＝b＞0
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＜0　⇔　b＜－a＋1　

　　　直線b＝－a＋1と放物線b＝ $橿原学習塾青木ゼミ$ (a－2)²の2式を連立させると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、これらは点(0，1)で接する。

　　　以上より、題意を満たすような点(a，b)の存在範囲を図示すると、
　　　下図のようになる。ただし、境界線上の点も含む。

　　　　　　　

　　　上では細かく場合分けしましたが、(ⅱ)～(ⅴ)は
　　　　　　　　f(0)・f(1)≦0
　　　と、１つにまとめることができます。　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014/07/04(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2005

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