第４問
2以上の自然数nに対し、nとn2＋2がともに素数になるのはn＝3
の場合に限ることを示せ。
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【解答】
(ⅰ) nが3の倍数のとき
nが素数になるのは、n＝3のときのみであり、
このとき、n2＋2＝11より、n2＋2も素数となり、条件を満たす。
(ⅱ) nが3の倍数でないとき
nは、自然数mを用いて n＝3m±1 と表せるので、
n2＋2＝(3m±1)2＋2
＝9m2±6m＋3
＝3(3m2±2m＋1) （複号同順）
となり、mは自然数なので、n2＋2は3の倍数である。
これが素数になるのは、
n2＋2＝3 すなわち、 n＝1（＞0）
のときであるが、1は素数ではないので、(ⅱ)の場合は
条件を満たさない。
以上より、題意は示された。
3で割った剰余で分類することに気づかなければ、厳しいでしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/06/28(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 理系 2006
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