第４問
関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
とする。
(１) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+1} \right)\end{align*}}$
の導関数を求めよ。
(２) 二つの曲線y＝f(x)とy＝1－f(x)で囲まれる図形の面積を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{1+\frac{1}{2}\left(x^2+1 \right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x}{x+\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\end{align*}}$
(２)
2曲線の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{x^2+1}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt3\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\lt x\lt\sqrt3\end{align*}}$ の範囲でつねに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\gt 1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
が成り立つ。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-x)=\frac{1}{\sqrt{(-x)^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=f\ (x)\end{align*}}$
なので、2曲線はともにy軸について対称である。
よって、囲まれる図形の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{\sqrt3}\left\{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{\sqrt3}\left(\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}-1 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[2\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-x\bigg]_0^{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\log\left(\sqrt3+2 \right)-2\sqrt3}\end{align*}}$
この大問だけは絶対に完答しましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/12(金) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2014
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