第３問
aを0＜a＜1とする。座標空間の4点を
$\small\sf{\begin{align*} \sf O\left(0,0,0 \right)\ \ ,\ \ A\left(1,0,0 \right)\ \ ,\ \ B\left(0,\frac{1}{a},0 \right)\ \ ,\ \ C\left(0,0,\frac{1}{1-a} \right)\end{align*}}$
とする。また、4点O、A、B、Cを頂点とする四面体に内接する
球をSとする。
(１) 3点A、B、Cを通る平面に直交し長さが1のベクトルをaを
用いて表せ。
(２) 3点A、B、Cを通る平面と球Sの接点の座標をaを用いて表せ。
(３) 球Sの半径をaを用いて表せ。
(４) 球Sの体積の最大値を求めよ。
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【解答】
(１)
求めるベクトルを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}=\left(X\ ,\ Y\ ,\ Z \right)\ \ \ \ \ \left(X^2+y^2+z^2=1 \right)\end{align*}}$
とおくと、このベクトルは平面ABCと直交するので、
辺AB、ACのいずれとも垂直である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(-1\ ,\ \frac{1}{a}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(-1\ ,\ 0\ ,\ \frac{1}{1-a}\right)\end{align*}}$
なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf n}=-X+\frac{Y}{a}+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=aX\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf n}=-X+0+\frac{Z}{1-a}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ Z=\left(1-a\right)X\end{align*}}$ ．
また、このベクトルの大きさは1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2+Y^2Z^2=X^2+a^2X^2+\left(1-a \right)^2X^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X=\pm\frac{1}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}=\underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\left(1\ ,\ a\ ,\ 1-a \right)}\end{align*}}$
(２)(３)
(１)で求めた2つの単位ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ のうち、
各成分が正である方を $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n_1}\end{align*}}$ とする。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n_1}=\frac{1}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\left(1\ ,\ a\ ,\ 1-a \right)\end{align*}}$
とする。
四面体の3つの面OAB、OBC、OCAはそれぞれxy平面、
yz平面、zx平面と一致し、球Sはx≧0、y≧0、z≧0の領域に
あるので、球Sの半径をr（＞0）とおくと、中心Qの座標は
Q(r，r，r)
となる。
Sと平面ABCの接点をPとおくと、
PQ⊥平面ABC かつ PQ＝r
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}= r\ \overrightarrow{\sf n_1}=\frac{r}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\left(1\ ,\ a\ ,\ 1-a \right)\end{align*}}$
となる。よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf QP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(r\ ,\ r\ ,\ r \right)+\frac{r}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\left(1\ ,\ a\ ,\ 1-a \right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\sqrt{2a^2-2a+2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(r\ ,\ r\ ,\ r \right)+rk\left(1\ ,\ a\ ,\ 1-a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\left(1+\frac{1}{k}\ ,\ 1+\frac{a}{k}\ ,\ 1+\frac{1-1}{k} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\left(1+\frac{1}{k}\right)\overrightarrow{\sf OA}+ar\left(1+\frac{a}{k}\right)\overrightarrow{\sf OB}+r(1-a)\left(1+\frac{1-a}{k} \right)\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と変形できる。
点Pは平面ABC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r\left(1+\frac{1}{k}\right)+ar\left(1+\frac{a}{k}\right)+r(1-a)\left(1+\frac{1-a}{k}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{1}{1+\frac{1}{k}+ar\left(1+\frac{a}{k}\right)+r(1-a)\left(1+\frac{1-a}{k} \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2+\frac{2a^2-2a+2 }{k}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2+\sqrt{2a^2-2a+2 }}}\end{align*}}$
となり、これよりPの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2+k}\left(1+\frac{1}{k}\ ,\ 1+\frac{a}{k} \ ,\ 1+\frac{1-a}{k}\right)}\end{align*}}$
と表すことができる。（ただし、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\sqrt{2a^2-2a+2}\end{align*}}$ である）
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{2+\sqrt{2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}}}\end{align*}}$
なので、a= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、rは最大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{max}=\frac{1}{2+\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{4+\sqrt6}\end{align*}}$
をとる。
このとき、Sの体積は最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\pi}{3}\ r_{max}^3=\underline{\ \frac{4\pi}{3}\left(\frac{2}{4+\sqrt6} \right)^3}\end{align*}}$
となる。
ポイントは3つ
・球の中心の座標は(r，r，r)
・$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}= r\ \overrightarrow{\sf n_1}\end{align*}}$
・Pが平面ABC上にあることの処理
しかしまぁ、計算が激しくてビックリしますね。
なんせ、答えがこれですもん・・・・
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2+\sqrt{2a^2-2a+2 }}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\ ,\ 1+\frac{a}{\sqrt{2a^2-2a+2}} \ ,\ 1+\frac{1-a}{\sqrt{2a^2-2a+2}}\right)\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/12(金) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2014
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