第２問
表と裏の出る確率が等しい硬貨をn回投げる。このとき、表が出る
回数がnの半分以上である確率をanとし、表が出る確率がnの半分
より大きい確率をbnとする。
(１) a1、a2、a3およびb1、b2、b3をそれぞれ求めよ。
(２) an－bnをnを用いて表せ。
(３) anをnを用いて表せ。
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【解答】
n回のうち、表の出る回数をxn、裏の出る回数をynとおき、
xn＝ynとなる確率をcnとおくと、
an＝bn＋cn
また、表と裏の出る確率は等しいので、
(xn＞ynとなる確率)＝(xn＜ynとなる確率)
となり、これらはbnに等しい。
xnとynの大小関係は、
xn＝yn、 xn＞yn、 xn＜yn
のいずれかなので、
cn＋bn＋bn＝1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{1}{2}\left(1-c_n\right)\ \ ,\ \ a_n=b_n+c_n=\frac{1}{2}\left(1+c_n\right)\end{align*}}$ ……(#)
が成り立つ。
(１)
nが奇数のとき
xn＝ynとなりえないので、cn＝0 である。
よって、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=a_3=b_1=b_3=\underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
n＝2のとき
x2＝y2＝1となる確率c2は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_2=_2C_1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\underline{\ \frac{3}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\underline{\ \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
nが奇数のとき
xn＝ynとなりえないので、
an－bn＝cn＝0 である。
nが偶数のとき
xn＝yn＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ となればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=c_n=_nC_{\frac{n}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{n}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{n}}=\underline{\ _nC_{\frac{n}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^n}\end{align*}}$
(３)
(#)と(２)より、
nが奇数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{2}\left(1+0\right)=\underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
nが偶数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{\ \frac{1}{2}\left\{1+_nC_{\frac{n}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}}\end{align*}}$
(#)さえ作ってしまえば終わりです。そのためにも、
(xn＞ynとなる確率)＝(xn＜ynとなる確率)
に気づきましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/12(金) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2014
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