第５問
2以上の自然数nに対して、関数fn(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_n\ (x)=\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right)\ldots\left(nx-1 \right)\end{align*}}$
と定義する。k＝1，2，…，n－1に対して、fn(x)が区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k+1}\lt x\lt\frac{1}{k}\end{align*}}$ で
ただ1つの極値をとることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
開区間Ikを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_k:\ \frac{1}{k+1}\lt x<\frac{1}{k}\ \ \ \ \left(k=1,2,\ldots ,n-1\right)\end{align*}}$
とおく。
fn(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=n!\left(x-1\right)\left(x- \frac{1}{2}\right)\ldots\left(x- \frac{1}{k}\right)\ldots\left(x-\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(1)=f_n\left(\frac{1}{2}\right)=\ldots =f_n\left( \frac{1}{k}\right)=\ldots =f\left(\frac{1}{n}\right)=0\end{align*}}$ ……(*)
また、fn(x)はn次式であり、その導関数fn’(x)はn－1次式なので、
方程式fn’(x)＝0は高々n－1個の実数解を持つ。……(#)
一方、fn(x)はすべての実数に対して連続かつ微分可能なので、
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(c_k)=\frac{f\left(\frac{1}{k}\right)-f\left(\frac{1}{k+1}\right)}{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}=0\end{align*}}$ ←(*)より
となるckが区間Ik内に少なくとも1つ存在し、このことはn－1個の
開区間I1，I2，…，In-1のすべてに対して成り立つ。
このことと(#)より、fn’(x)＝0 の実数解は、各開区間Ik
（k＝1，2，…，n－1）内にただ1つずつ存在することになる。
それらをck（k＝1，2，…，n－1）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1>c_1>\frac{1}{2}>c_2>\frac{1}{3}>\ldots >\frac{1}{k}>c_k>\frac{1}{k+1}>\ldots >\frac{1}{n-1}>c_{n-1}>\frac{1}{n}\end{align*}}$
であり、fn’(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\ '(x)=n!\left(x-c_1 \right)\left(x-c_2 \right)\ldots\left(x-c_k \right)\ldots\left(x-c_{n-1} \right)\end{align*}}$
と表すことができるので、fn(x)の増減は次のようになる。
よって、fn(x)はx＝c1，c2，…，cn-1で極値をとることになるので、
題意は示された。
これは難しいでしょうねぇ。とにかく答案が書きにくい。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/17(水) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
