文系との共通問題です。
第４問
Aさんは5円硬貨を3枚、Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚
持っている。2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。
それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を
勝ちとする。勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう。
なお、表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし、硬貨の
やりとりは行わない。このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(１) AさんがBさんに勝つ確率p、および引き分けとなる確率qをそれ
ぞれ求めよ。
(２) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値Eを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bが投げた表の硬貨の合計金額をそれぞれa、bとおく。
a＝0，5，10，15となる確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\ \ ,\ \ \frac{3}{8}\ \ ,\ \ \frac{3}{8}\ \ ,\ \ \frac{1}{8}\end{align*}}$
であり、b＝0，5，10，15となる確率はすべて $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ である。
(１)
Aが勝つのは
(a，b)＝(15，0)、(15，5)、(15，10)、
(10，0)、(10，5)、(5，0)
の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{3}{8}}\end{align*}}$
引き分けになるのは
(a，b)＝(15，15)、(10，10)、(5，5)、(0，0)
の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
ゲーム終了後のAの硬貨の合計金額をXとする。
X＝5となるのは
(a，b)＝(5，10)、(5，15)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}\end{align*}}$
X＝10となるのは
(a，b)＝(10，15)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{8}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{32}\end{align*}}$
X＝15となるのは
(a，b)＝(15，15)、(10，10)、(5，5)、(0，0)
の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{1}{4}\end{align*}}$
X＝20となるのは
(a，b)＝(15，10)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{32}\end{align*}}$
X＝25となるのは
(a，b)＝(15，5)、(10，5)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\end{align*}}$
X＝30となるのは
(a，b)＝(15，0)、(10，0)、(5，0)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{7}{32}\end{align*}}$
以上より、Xの期待値Eは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\cdot\frac{3}{16}+10\cdot\frac{3}{32}+15\cdot\frac{1}{4}+20\cdot\frac{1}{32}+25\cdot\frac{1}{16}+30\cdot\frac{7}{32}=\underline{\ \frac{255}{16}}\end{align*}}$
である。
もれなく書きあげましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/17(水) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2014
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