文系との共通問題です。
第２問
以下の問いに答えよ。
(１) 任意の自然数aに対し、a2を3で割った余りは0か1であることを
証明せよ。
(２) 自然数a、b、cがa2＋b2＝3c2を満たすと仮定すると、a、b、cは
すべて3で割り切れなければならないことを証明せよ。
(３) a2＋b2＝3c2を満たす自然数a、b、cは存在しないことを証明せよ。
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【解答】
以下の合同式は、すべてmod3で考える。
(１)
a≡0のとき、a2≡0
a≡1のとき、a2≡1
a≡2のとき、a2≡4≡1
よって、a2≡0 または a2≡1 となり、題意は示された。
(２)
a2＋b2＝3c2 ……(ⅰ)
が成り立つとき、3c2≡0なので、
a2＋b2≡3c2≡0 ……(ⅱ)
である。
(１)より、a2≡0 または a2≡1であり、
同様に、b2≡0 または b2≡1である。
1＋1≡2 1＋0≡1
0＋1≡1 0＋0≡0
なので、(ⅱ)を満たすのは、
a2≡0 かつ b2≡0
のときのみである。(１)より、a2≡0は、
a≡0のときのみ成り立ち、同様に、b≡0も成り立つので、
a、bはともに3で割り切れる数である。
よって、a、bは自然数a1、b2を用いて
a＝3a1、 b＝3b1
と表すことができる。
これを(ⅰ)に代入すると、
(3a1)2＋(3b1)2＝3c2
⇔ c2＝3(a12＋b12)
となるので、cも3の倍数となる。
(３)
(ⅰ)を満たすような自然数a、b、cが存在すると仮定すると、
(２)より、a、b、cは3で割り切れるので、
自然数a1、b1、c1を用いて、
a＝3a1、 b＝3b1、 c＝3c1
と表すことができる。これを(ⅰ)に代入すると、
(3a1)2＋(3b1)2＝3(3c1)2
⇔ a12＋b12＝3c12
この式は、(ⅰ)式と同じ形になるので、(２)より、a1、b1、c1は
3の倍数となる。よって、自然数a2、b2、c2を用いて、
a＝3a1＝32a2、 b＝3b1＝32b2、 c＝3c1＝32c2
と表すことができるので、a、b、cはすべて32で割り切れる。
これを(ⅰ)に代入すると、
(32a2)2＋(32b2)2＝3(32c2)2
⇔ a22＋b22＝3c22
同様に、a2、b2、c2は3の倍数となるので、
自然数a3、b3、c3を用いて、
a＝33a3、 b＝33b3、 c＝33c3
と表すことができるので、a、b、cはすべて33で割り切れる。
これを繰り返していくと、
a＝34a4、 b＝3b4b4、 c＝34c4
a＝35a5、 b＝3b5b5、 c＝35c5
a＝36a6、 b＝3b6b6、 c＝36c6
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
となり、a、b、cは何回も3で割り切れることになるが、
そのような自然数a、b、cは存在しない。
よって、a2＋b2＝3c2を満たす自然数a、b、cは存在しない。
現高3生からは合同式を習っているはずですので、遠慮せずに使います(笑)！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/17(水) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 理系 2014
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