2014九州大 文系数学３

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【解答】

　(１)
　　　正弦定理より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AB}{\sin C}=2R\ \ \Leftrightarrow\ \ AB=2R\sin C\end{align*}}$
　　　であり、△ABDにおいて、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AD=AB\ \sin B=2R\sin B\sin C\end{align*}}$
　　　が成り立つ。
　　　また、円周角の定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle BOE=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle A\end{align*}}$
　　　なので、△OBEにおいて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OE=OB\ \cos\angle BOE=R\cos A\end{align*}}$
　　　が成り立つ。


　(２)
　　　Oは△ABCの外心なので、
　　　　　　　　BE＝CE　かつ　OE⊥BC
　　　であり、OとGが一致するとき、Oは中線AE上にある。
　　　よって、△ABE≡△ACEとなるので、AB＝ACとなる。
　　　同様に、OからABに垂線OFを下ろすと、
　　　△CAF≡△CBFより CA＝CBとなる。
　　　以上より、
　　　AB＝BC＝CAとなるので、△ABCは正三角形である。


　(３)
　　　Gは△ABCの重心なので、
　　　　　　　AG：GE＝2：1　　……(#)
　　　である。
　　　OG//BCのとき、OE//ADでもあるので、
　　　　　　　△OGE∽△DEA
　　　となるので、
　　　　　　　OE：DA＝GE：EA＝1：3
　　　となり、
　　　　　　　AD＝3OE
　　　が成り立つ。

　　　∠B＝90°とすると、ACが直径となるため、
　　　AO：OC＝1：1となり、OG//BCより
　　　　　　AG：GE＝AO：OC＝1：1 ．
　　　このことは、(#)に矛盾するので、
　　　∠B≠90°であり、
　　　同様にして、∠C≠90°である。


　　　(１)をAD＝3OEに代入すると、
　　　　　　　2RsinBsinC＝3RcosA
　　　　　⇔　2sinBsinC＝3cos(180－B－C)
　　　　　　　　　　　　　　 ＝－3cos(B＋C)
　　　　　　　　　　　　　　 ＝－3(cosBcosC－sinBsinC)　　←加法定理
　　　　　⇔　sinBsinC＝3cosBcosC
　　　∠B≠90°、∠C≠90°より、cosBcosC≠0なので、
　　　両辺をcosBcosCで割ると、
　　　　　　　tanBtanC＝3
　　　となる。




　　(２)のような、一見当たり前のようなことを証明するのは難しいでしょうね。