第１問
座標平面上の直線y＝－1をL1、直線y＝1をL2とし、x軸上の2点
O(0，0)、A(a，0)を考える。点P(x，y)について、次の条件を考える。
d(P，L1)≧PO かつ d(P，L2)≧PA ……①
ただし、d(P，L)は点Pと直線Lの距離である。
(１) 条件①を満たす点Pが存在するようなaの値の範囲を求めよ。
(２) 条件①を満たす点P全体がなす図形の面積Sをaを用いて表せ。
ただし、aの値は(１)で求めた範囲にあるとする。
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【解答】
(１)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\left(P , L_1 \right)\geqq PO\ \ \Leftrightarrow\ \ |y+1|\geqq\sqrt{x^2+y^2}\ \ (\geqq 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\left(P , L_2 \right)\geqq PO\ \ \Leftrightarrow\ \ |y-1|\geqq\sqrt{\left(x-a\right)^2+y^2}\ \ (\geqq 0)\end{align*}}$
であり、それぞれの両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2+2y+1\geqq x^2+y^2\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geqq\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2-2y+1\geqq x^2+2ax+a^2+y^2\ \ \Leftrightarrow\ \ y\leqq -\frac{1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となる。
ここで、放物線C1、C2を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ C_2:\ y= -\frac{1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
とおくと、C1とC2が共有点を持つとき、(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たす
(x，y)が存在し、条件①を満たすことになる。
よって、C1、C2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}= -\frac{1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-2ax+a^2-2=0\end{align*}}$ ……(#)
となるので、(#)の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2-2\left(a^2-2\right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -2\leqq a\leqq 2}\end{align*}}$
となればよく、これが求めるaの値に範囲である。
(２)
(#)の2解をx1、x2（x1＜x2）とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1=\frac{a-\sqrt{4-a^2}}{2}\ \ ,\ \ x_2=\frac{a+\sqrt{4-a^2}}{2}\end{align*}}$
となり、これらがC1とC2n共有点のx座標である。
また、x1＜x＜x2の範囲で常にC2はC1の上側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{x_1}^{x_2}\left\{-\frac{1}{2}\left(x-a\right)^2+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{x_1}^{x_2}\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(x_2-x_1\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(\frac{a+\sqrt{4-a^2}}{2}-\frac{a-\sqrt{4-a^2}}{2}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\left(\sqrt{4-a^2}\right)^3}\end{align*}}$
(２)は、6分の1公式を使わないと計算が死にます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/17(水) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2014
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