2014大阪府立大学 前期文系 数学４

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【解答】

　　　　　　　S_n=2a_n+n²－n　　……(#)

　(1)
　　　S₁=a₁より、(#)はn=1のとき
　　　　　　　a₁=2a₁+1²－1　⇔　a₁=0
　　　となる。
　　　S₂=a₁+a₂より、(#)はn=2のとき
　　　　　　　0+a₂=2a₂+2²－2　⇔　a₂=－2
　　　となる。


　(2)
　　　(#)より
　　　　　　　S_n+1=2a_n+1+(n+1)²－(n+1)
　　　　　　　S_n=2a_n+n²－n
　　　これら2式の差をとると、S_n+1－S_n=a_n+1より、
　　　　　　　a_n+1=2a_n+1－2a_n+(n+1)²－(n+1)－(n²－n)
　　　　　⇔　a_n+1－2a_n=－2n　　……(*)
　　　となる。


　(3)
　　　(*)より
　　　　　　　a_n+2－2a_n+1=－2(n+1)
　　　　　　　a_n+1－2a_n=－2n
　　　これら2式の差をとると、b_n=a_n+1－a_n－2なので、
　　　　　　　a_n+2－a_n+1－2(a_n+1－a_n)=－2
　　　　　⇔　(b_n+1+2)－2(b_n+2)=－2
　　　　　⇔　b_n+1=2b_n
　　　となり、数列{b_n}は、公比2の等比数列となる。
　　　また初項は、
　　　　　　　b₁=a₂－a₁－2=－4　　←(1)より
　　　である。


　(4)
　　　(3)より、数列{b_n}の一般項は、
　　　　　　　　b_n=－4･2^n-1
　　　となるので、
　　　　　　　　a_n+1－a_n－2=－4･2^n-1
　　　　　　⇔　a_n+1－a_n=2－4･2^n-1．
　　　これは、数列{a_n}の階差数列を表すので、
　　　n≧2のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(2-4\cdot 2^{k-1} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+2\left(n-1 \right)-\frac{4\left(2^{n-1}-1 \right)}{2-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2n-2^{n+1}+2}\end{align*}}$
　　　これは、n=1のときも成り立つ。





　　上から順にスイスイーっと誘導に乗っていきましょう！