第3問
aは正の定数とし、曲線C1：y=ax2 （0≦x≦1）とC2：
y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$ (x－1)2 （0≦x≦1）およびx軸で囲まれる部分の
面積をS(a)とする。
(1) C1とC2の交点のx座標を求めよ。
(2) S(a)を求めよ。
(3) aがすべての正の実数を動くとき、S(a)の最大値とそれを
与えるaの値を求めよ。
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【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2=\frac{1}{a}\left(x-1 \right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(ax\right)^2=\left(x-1 \right)^2\end{align*}}$
となり、a＞0、0≦x≦1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax=1-x\ (>0)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{1}{a+1}}\end{align*}}$ ．
(2)
C1、C2、x軸の位置関係は右図のようになるので、
(1)で求めたC1，C2の交点のx座標をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^pax^2dx+\int_p^1\frac{1}{a}\left(x-1 \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{a}{3}\ x^3 \right]_0^p+\left[\frac{1}{3a}\left(x-1\right)^3 \right]_p^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{3}\ p^3-\frac{1}{3a}\left(p-1\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{3}\left(\frac{1}{a+1}\right)^3-\frac{1}{3a}\left(\frac{1}{a+1}-1\right)^3\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2+a}{3\left(a+1 \right)^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a}{3\left(a+1 \right)^2}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\frac{a}{3\left(a^2+2a+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3\left(a+ \frac{1}{a}+2\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{1}{3\left(2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}+2\right)}\end{align*}}$ ←a＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\end{align*}}$ ．
等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\ \ (>0)\end{align*}}$
のときである。
以上より、
a=1 のとき、S(a)は最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\end{align*}}$ をとる。
(1)は、符号に気をつけましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/05/29(木) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2014（文系）
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